🧮 Diziler Nedir?
Diziler, belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğudur. Her bir sayıya dizinin terimi denir.
- 🔢 Terim: Diziyi oluşturan her bir sayı. Örneğin, 2, 4, 6, 8... dizisinde her bir sayı bir terimdir.
- ➕ Sonlu Dizi: Belirli bir sayıda terimi olan dizidir. Örneğin, 1, 3, 5, 7, 9.
- ♾️ Sonsuz Dizi: Terimleri sonsuza kadar devam eden dizidir. Örneğin, 2, 4, 6, 8, ...
➕ Aritmetik Diziler
Aritmetik diziler, ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu dizilerdir. Bu sabit farka ortak fark denir.
- ➕ Ortak Fark (d): Ardışık iki terim arasındaki farktır.
- ✏️ Genel Terim: Bir aritmetik dizinin genel terimi, $a_n = a_1 + (n-1)d$ formülü ile bulunur. Burada $a_1$ ilk terim, $n$ terim sayısı ve $d$ ortak farktır.
❓ Aritmetik Dizi Örnek Soru
Bir aritmetik dizinin ilk terimi 3 ve ortak farkı 2 ise, 10. terimi kaçtır?
Çözüm:
$a_{10} = a_1 + (10-1)d = 3 + (9)(2) = 3 + 18 = 21$
✖️ Geometrik Diziler
Geometrik diziler, ardışık terimleri arasındaki oranın sabit olduğu dizilerdir. Bu sabit orana ortak çarpan denir.
- ✖️ Ortak Çarpan (r): Ardışık iki terim arasındaki orandır.
- 💡 Genel Terim: Bir geometrik dizinin genel terimi, $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ formülü ile bulunur. Burada $a_1$ ilk terim, $n$ terim sayısı ve $r$ ortak çarpandır.
❓ Geometrik Dizi Örnek Soru
Bir geometrik dizinin ilk terimi 2 ve ortak çarpanı 3 ise, 5. terimi kaçtır?
Çözüm:
$a_5 = a_1 \cdot r^{5-1} = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$
∑ Seriler Nedir?
Seriler, bir dizinin terimlerinin toplamıdır.
- ➕ Sonlu Seri: Sonlu bir dizinin terimlerinin toplamıdır.
- ♾️ Sonsuz Seri: Sonsuz bir dizinin terimlerinin toplamıdır.
➕ Aritmetik Seriler
Aritmetik seriler, aritmetik dizinin terimlerinin toplamıdır.
- ➗ Toplam Formülü: Bir aritmetik serinin toplamı, $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ veya $S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$ formülü ile bulunur.
❓ Aritmetik Seri Örnek Soru
İlk 10 terimi verilen bir aritmetik dizinin ilk terimi 1 ve ortak farkı 2 ise, bu dizinin ilk 10 teriminin toplamı kaçtır?
Çözüm:
$S_{10} = \frac{10}{2}[2(1) + (10-1)2] = 5[2 + 18] = 5 \cdot 20 = 100$
✖️ Geometrik Seriler
Geometrik seriler, geometrik dizinin terimlerinin toplamıdır.
- ➗ Toplam Formülü: Bir geometrik serinin toplamı, $S_n = a_1 \cdot \frac{1-r^n}{1-r}$ formülü ile bulunur.
- ♾️ Sonsuz Geometrik Seri: $|r| < 1$ ise, sonsuz geometrik serinin toplamı $S = \frac{a_1}{1-r}$ formülü ile bulunur.
❓ Geometrik Seri Örnek Soru
İlk terimi 3 ve ortak çarpanı 1/2 olan sonsuz geometrik serinin toplamı kaçtır?
Çözüm:
$S = \frac{3}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 6$
