🌈 Türev Nedir?
Türev, bir fonksiyonun bir noktadaki değişim hızını ölçer. Yani, bir eğrinin o noktadaki eğimini bulmamızı sağlar. Türev alma işlemi, matematiksel modelleme, fizik, mühendislik ve ekonomi gibi birçok alanda kullanılır.
🚀 Temel Türev Alma Kuralları
İşte AYT Matematik'te karşınıza çıkacak temel türev alma kuralları:
- sabit Sayı Türevi: Bir sabitin türevi her zaman sıfırdır.
- Örneğin, $f(x) = 5$ ise $f'(x) = 0$'dır.
- Kuvvet Kuralı: $f(x) = x^n$ ise $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$'dir.
- Örneğin, $f(x) = x^3$ ise $f'(x) = 3x^2$'dir.
- Sabit Çarpan Kuralı: $f(x) = c \cdot g(x)$ ise $f'(x) = c \cdot g'(x)$'dir.
- Örneğin, $f(x) = 2x^4$ ise $f'(x) = 2 \cdot 4x^3 = 8x^3$'tür.
- Toplama/Çıkarma Kuralı: $f(x) = u(x) \pm v(x)$ ise $f'(x) = u'(x) \pm v'(x)$'dir.
- Örneğin, $f(x) = x^2 + 3x$ ise $f'(x) = 2x + 3$'tür.
- Çarpım Kuralı: $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ ise $f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$'dir.
- Örneğin, $f(x) = x^2 \cdot (2x + 1)$ ise $f'(x) = 2x \cdot (2x + 1) + x^2 \cdot 2 = 4x^2 + 2x + 2x^2 = 6x^2 + 2x$'tir.
- Bölüm Kuralı: $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ ise $f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}$'dir.
- Örneğin, $f(x) = \frac{x^3}{x + 1}$ ise $f'(x) = \frac{3x^2 \cdot (x + 1) - x^3 \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{3x^3 + 3x^2 - x^3}{(x + 1)^2} = \frac{2x^3 + 3x^2}{(x + 1)^2}$'dir.
- Zincir Kuralı: $f(x) = u(v(x))$ ise $f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)$'dir.
- Örneğin, $f(x) = (x^2 + 1)^3$ ise $f'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2$'dir.
💡 Örnek Sorular ve Çözümleri
Aşağıda, türev alma kurallarını daha iyi anlamanıza yardımcı olacak örnek sorular ve çözümleri bulunmaktadır.
📌 Soru 1
$f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 5x - 7$ fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm:
* Sabit sayı türevi: -7'nin türevi 0'dır.
* Kuvvet kuralı ve sabit çarpan kuralı:
* $4x^3$'ün türevi $12x^2$'dir.
* $-2x^2$'nin türevi $-4x$'tir.
* $5x$'in türevi 5'tir.
Buna göre, $f'(x) = 12x^2 - 4x + 5$'tir.
📌 Soru 2
$f(x) = (x^2 + 3)(2x - 1)$ fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm:
Çarpım kuralını uygulayalım: $f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
* $u(x) = x^2 + 3$ ise $u'(x) = 2x$'tir.
* $v(x) = 2x - 1$ ise $v'(x) = 2$'dir.
$f'(x) = 2x \cdot (2x - 1) + (x^2 + 3) \cdot 2 = 4x^2 - 2x + 2x^2 + 6 = 6x^2 - 2x + 6$'dır.
📌 Soru 3
$f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}$ fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm:
Bölüm kuralını uygulayalım: $f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}$
* $u(x) = x^2 + 1$ ise $u'(x) = 2x$'tir.
* $v(x) = x - 2$ ise $v'(x) = 1$'dir.
$f'(x) = \frac{2x \cdot (x - 2) - (x^2 + 1) \cdot 1}{(x - 2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x^2 - 1}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x - 1}{(x - 2)^2}$'dir.
📌 Soru 4
$f(x) = \sqrt{3x^2 + 5x}$ fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm:
Öncelikle fonksiyonu üslü biçimde yazalım: $f(x) = (3x^2 + 5x)^{\frac{1}{2}}$
Şimdi zincir kuralını uygulayalım: $f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)$
* $u(v) = v^{\frac{1}{2}}$ ise $u'(v) = \frac{1}{2}v^{-\frac{1}{2}}$'dir.
* $v(x) = 3x^2 + 5x$ ise $v'(x) = 6x + 5$'tir.
$f'(x) = \frac{1}{2}(3x^2 + 5x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (6x + 5) = \frac{6x + 5}{2\sqrt{3x^2 + 5x}}$'dir.
🎯 İpuçları ve Püf Noktaları
* Bol bol pratik yaparak türev alma kurallarını iyice öğrenin.
* Zincir kuralını uygularken iç içe fonksiyonlara dikkat edin.
* Bölüm kuralında pay ve paydanın türevlerini doğru sırayla alın.
* Karmaşık fonksiyonları basitleştirmek için cebirsel manipülasyonlar kullanın.
Umarım bu yazı, AYT Matematik türev konusunu anlamanıza yardımcı olur. Başarılar!
