📐 AYT Matematik Vektörler: Temel Kavramlar
Vektörler, matematik ve fizikte yönü ve büyüklüğü olan nicelikleri ifade etmek için kullanılır. İşte vektörlerle ilgili temel kavramlar:
- 📏 Vektör Nedir? Bir vektör, başlangıç noktasından bitiş noktasına doğru çizilen bir doğrudur. Yönü ve uzunluğu (büyüklüğü) vardır.
- 📍 Başlangıç ve Bitiş Noktası: Vektörün başladığı noktaya başlangıç noktası, bittiği noktaya ise bitiş noktası denir.
- ➡️ Yön: Vektörün hangi tarafa doğru olduğunu belirtir.
- 💪 Büyüklük (Uzunluk): Vektörün uzunluğudur. $||\vec{AB}||$ şeklinde gösterilir.
- ➕ Vektörün Gösterimi: Bir vektör genellikle $\vec{AB}$ veya $\vec{a}$ şeklinde gösterilir.
➕ Vektörlerde İşlemler
Vektörlerle toplama, çıkarma ve skalerle çarpma gibi işlemler yapılabilir.
➕ Vektör Toplama
- ➡️ Uç Uca Ekleme: İki vektörü toplamak için, birinci vektörün bitiş noktasına ikinci vektörün başlangıç noktası gelecek şekilde yerleştirilir. Başlangıç noktasından son vektörün bitiş noktasına çizilen vektör, toplam vektördür.
- paralelkenar yöntemi de kullanılabilir.
- ➕ $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ (Değişme özelliği)
➖ Vektör Çıkarma
- 🔄 Ters Vektör: Bir vektörün tersi, aynı büyüklükte fakat zıt yönde olan vektördür. $\vec{a}$ vektörünün tersi $-\vec{a}$ şeklinde gösterilir.
- ➖ $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$ (Çıkarma, ters vektörle toplama işlemidir.)
🔢 Skalerle Çarpma
- ✖️ Skaler: Sayısal bir değerdir (örneğin, 2, -3, 0.5).
- 🔢 Bir vektörü bir skalerle çarpmak, vektörün büyüklüğünü değiştirir. Eğer skaler pozitifse vektörün yönü değişmez, negatifse vektörün yönü tersine döner.
- ✖️ $k \cdot \vec{a}$, burada $k$ bir skalerdir.
📍 Vektörlerin Bileşenleri
Vektörler, koordinat sisteminde bileşenlerine ayrılabilir.
- 🧮 Koordinat Sistemi: Genellikle iki boyutlu (x, y) veya üç boyutlu (x, y, z) koordinat sistemleri kullanılır.
- ➡️ Bileşenler: Bir vektörün x ve y (veya z) eksenlerindeki izdüşümleridir. Örneğin, $\vec{a} = (3, 4)$ vektörünün x bileşeni 3, y bileşeni 4'tür.
- 📐 Birim Vektörler: Koordinat eksenleri üzerindeki birim uzunluğundaki vektörlerdir. $\hat{i}$ (x ekseni), $\hat{j}$ (y ekseni) ve $\hat{k}$ (z ekseni) şeklinde gösterilir.
- 📝 Bir vektör, bileşenleri ve birim vektörler cinsinden ifade edilebilir: $\vec{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j}$.
❓ Örnek Soru ve Çözümü
Aşağıdaki vektörlerle ilgili örneği inceleyelim:
Soru: $\vec{a} = (2, -1)$ ve $\vec{b} = (-3, 4)$ vektörleri veriliyor. Buna göre, $\vec{a} + \vec{b}$ ve $2\vec{a} - \vec{b}$ vektörlerini bulunuz.
Çözüm:
1. $\vec{a} + \vec{b} = (2, -1) + (-3, 4) = (2 - 3, -1 + 4) = (-1, 3)$
2. $2\vec{a} = 2(2, -1) = (4, -2)$
$2\vec{a} - \vec{b} = (4, -2) - (-3, 4) = (4 + 3, -2 - 4) = (7, -6)$
Umarım bu konu anlatımı ve örnek soru, vektörler konusunu anlamanıza yardımcı olur! Başarılar!
