belirli integral kuralları ve örnekleri

Question

Belirli integral kurallarını ve örneklerini anlamakta zorlanıyorum. Hangi kuralı ne zaman uygulayacağımı karıştırıyorum. Daha basit örneklere ihtiyacım var.

Answer 1

🌈 Belirli İntegral Kuralları ve Örnekleri

Belirli integral, bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki alanını hesaplamamıza yarayan matematiksel bir araçtır. Bu hesaplamaları kolaylaştırmak için çeşitli kurallar ve teknikler mevcuttur. İşte en temel belirli integral kuralları ve bu kuralları daha iyi anlamanıza yardımcı olacak örnekler:

📚 Temel Belirli İntegral Kuralları

• 🌱 Sabit Kuralı: ∫_a^b c dx = c(b - a), burada c bir sabittir.
• ➕ Toplam Kuralı: ∫_a^b [f(x) + g(x)] dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_a^b g(x) dx
• ➖ Fark Kuralı: ∫_a^b [f(x) - g(x)] dx = ∫_a^b f(x) dx - ∫_a^b g(x) dx
• умножение Sabitle Çarpma Kuralı: ∫_a^b cf(x) dx = c ∫_a^b f(x) dx, burada c bir sabittir.
• 🔄 Ters Çevirme Kuralı: ∫_a^b f(x) dx = - ∫_b^a f(x) dx
• ✂️ Aralık Ekleme Kuralı: ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx = ∫_a^b f(x) dx, burada a < c < b

💡 Örnekler

🌱 Sabit Kuralı Örneği

∫₁³ 5 dx işlemini hesaplayalım.

Çözüm: Sabit kuralına göre, ∫₁³ 5 dx = 5(3 - 1) = 5 * 2 = 10

➕ Toplam Kuralı Örneği

∫₀² (x + x²) dx işlemini hesaplayalım.

Çözüm: Toplam kuralına göre, ∫₀² (x + x²) dx = ∫₀² x dx + ∫₀² x² dx

∫₀² x dx = [x²/2]₀² = (2²/2) - (0²/2) = 2

∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = (2³/3) - (0³/3) = 8/3

Dolayısıyla, ∫₀² (x + x²) dx = 2 + 8/3 = 14/3

➖ Fark Kuralı Örneği

∫₁⁴ (x³ - x) dx işlemini hesaplayalım.

Çözüm: Fark kuralına göre, ∫₁⁴ (x³ - x) dx = ∫₁⁴ x³ dx - ∫₁⁴ x dx

∫₁⁴ x³ dx = [x⁴/4]₁⁴ = (4⁴/4) - (1⁴/4) = 64 - 1/4 = 255/4

∫₁⁴ x dx = [x²/2]₁⁴ = (4²/2) - (1²/2) = 8 - 1/2 = 15/2

Dolayısıyla, ∫₁⁴ (x³ - x) dx = 255/4 - 15/2 = 225/4

умножение Sabitle Çarpma Kuralı Örneği

∫₀¹ 3x² dx işlemini hesaplayalım.

Çözüm: Sabitle çarpma kuralına göre, ∫₀¹ 3x² dx = 3 ∫₀¹ x² dx

∫₀¹ x² dx = [x³/3]₀¹ = (1³/3) - (0³/3) = 1/3

Dolayısıyla, ∫₀¹ 3x² dx = 3 * (1/3) = 1

🔄 Ters Çevirme Kuralı Örneği

∫₂¹ x dx işlemini hesaplayalım.

Çözüm: Ters çevirme kuralına göre, ∫₂¹ x dx = - ∫₁² x dx

∫₁² x dx = [x²/2]₁² = (2²/2) - (1²/2) = 2 - 1/2 = 3/2

Dolayısıyla, ∫₂¹ x dx = - (3/2) = -3/2

✂️ Aralık Ekleme Kuralı Örneği

∫₀³ f(x) dx işlemini hesaplayalım, burada f(x) = x, 0 ≤ x ≤ 2 ve f(x) = 3, 2 < x ≤ 3

Çözüm: Aralık ekleme kuralına göre, ∫₀³ f(x) dx = ∫₀² x dx + ∫₂³ 3 dx

∫₀² x dx = [x²/2]₀² = (2²/2) - (0²/2) = 2

∫₂³ 3 dx = 3(3 - 2) = 3 * 1 = 3

Dolayısıyla, ∫₀³ f(x) dx = 2 + 3 = 5

Bu kurallar ve örnekler, belirli integral hesaplamalarınızı büyük ölçüde kolaylaştıracaktır. Bol pratik yaparak bu kuralları iyice öğrenmeniz, daha karmaşık integral problemlerini çözmenize yardımcı olacaktır.