Binom açılımı katsayılar toplamı nasıl bulunur

Question

Binom açılımında katsayılar toplamını bulmak için formülde x ve y yerine 1 yazıyoruz. Ama bazı sorularda x veya y yerine farklı sayılar verildiğinde kafam karışıyor. Özellikle "2'nin kuvveti nereden geliyor?" diye düşünüyorum.

Answer 1

📐 Binom Açılımı Katsayılar Toplamı

Binom açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için çok pratik bir yöntem bulunmaktadır. Bu yöntemi anlamak için önce binom açılımının temel mantığını hatırlayalım.

💡 Temel Prensip

Bir binom ifadenin açılımı:

\((a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^{n-1}b + C(n,2)a^{n-2}b^2 + \ldots + C(n,n)b^n\)

Burada \(C(n,k)\) veya \(\binom{n}{k}\) binom katsayısını temsil eder.

🎯 Katsayılar Toplamını Bulma Yöntemi

Katsayılar toplamını bulmak için değişkenlerin yerine 1 yazılır.

Örneğin \((x + y)^n\) ifadesinin katsayılar toplamını bulmak için:

• 📌 \(x = 1\) ve \(y = 1\) değerlerini yerine koyarız
• 📌 Sonuç: \((1 + 1)^n = 2^n\) olur

🔢 Örneklerle Açıklama

✅ Örnek 1:

\((2x - 3y)^7\) ifadesinin katsayılar toplamı:

• ➡️ \(x = 1\) ve \(y = 1\) yazalım
• ➡️ \((2\cdot1 - 3\cdot1)^7 = (2 - 3)^7 = (-1)^7 = -1\)

✅ Örnek 2:

\((a + 2b)^5\) ifadesinin katsayılar toplamı:

• ➡️ \(a = 1\) ve \(b = 1\) yazalım
• ➡️ \((1 + 2\cdot1)^5 = (1 + 2)^5 = 3^5 = 243\)

🧠 Özel Durumlar

📌 Sabit Terim Katsayıları Toplamı

Sabit terimlerin katsayıları toplamını bulmak için değişkenlerin yerine 0 yazılır.

Örnek: \((2x + 3)^4\) ifadesinde sabit terim katsayıları toplamı için \(x = 0\):

• ➡️ \((2\cdot0 + 3)^4 = (0 + 3)^4 = 3^4 = 81\)

📌 Belirli Bir Değişkenin Katsayıları Toplamı

Diğer değişkenleri 1 yaparak sadece ilgili değişkenin katsayıları toplamı bulunabilir.

📚 Özet

• 🎯 Katsayılar toplamı: Tüm değişkenlere 1 değeri verilir
• 🎯 Sabit terim katsayıları toplamı: Tüm değişkenlere 0 değeri verilir
• 🎯 Binom açılımındaki tüm katsayılar toplamı her zaman \(2^n\)'dir