Bir doğru parçasını belli oranda bölen noktanın koordinatları

Question

Bir doğru parçasını belli bir oranda bölen noktanın koordinatlarını bulmakta zorlanıyorum. Formülü biliyorum ama sorularda nasıl uygulayacağımı tam olarak kestiremiyorum.

Answer 1

📐 Bir Doğru Parçasını Belli Oranda Bölen Noktanın Koordinatları

Bir doğru parçası düşünelim. Bu doğru parçasını öyle bir noktadan bölelim ki, oluşan parçaların uzunlukları arasında belirli bir oran olsun. İşte bu noktanın koordinatlarını bulmak, analitik geometrinin temel konularından biridir ve birçok problemde karşımıza çıkar.

🎯 Temel Kavramlar

• 📏 Doğru Parçası: İki nokta arasındaki düz çizgi.
• 📍 Koordinat: Bir noktanın, bir koordinat sistemindeki yerini belirten sayı veya sayılar.
• ➗ Oran: İki büyüklüğün birbirine bölünmesiyle elde edilen sayı.

📝 Formülün Elde Edilmesi

A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktaları ile belirtilen bir doğru parçasını, içten bölen bir P(x, y) noktası olsun. Bu P noktası, doğru parçasını |AP|/|PB| = k oranında bölüyorsa, P noktasının koordinatları aşağıdaki formüllerle bulunur:

x = (x₁ + kx₂) / (1 + k)

y = (y₁ + ky₂) / (1 + k)

Bu formüller, benzer üçgenler yardımıyla kolayca elde edilebilir.

✍️ Formülün Anlamı

Formülde görüldüğü gibi, P noktasının x koordinatı, A ve B noktalarının x koordinatlarının ağırlıklı ortalamasıdır. Ağırlıklar, bölme oranına (k) bağlıdır. Aynı durum, y koordinatı için de geçerlidir.

💡 Örnek Problem ve Çözümü

A(2, 3) ve B(6, 7) noktaları veriliyor. AB doğru parçasını |AP|/|PB| = 1/2 oranında içten bölen P noktasının koordinatlarını bulunuz.

Çözüm:

• 🍎 Adım 1: Formüldeki değerleri belirleyelim. x₁ = 2, y₁ = 3, x₂ = 6, y₂ = 7, k = 1/2
• 🍏 Adım 2: x koordinatını bulalım. x = (2 + (1/2)*6) / (1 + 1/2) = (2 + 3) / (3/2) = 5 / (3/2) = 10/3
• 🍊 Adım 3: y koordinatını bulalım. y = (3 + (1/2)*7) / (1 + 1/2) = (3 + 3.5) / (3/2) = 6.5 / (3/2) = 13/3

Dolayısıyla, P noktasının koordinatları (10/3, 13/3) olur.

🧭 Dıştan Bölme

Eğer P noktası, AB doğru parçasını dıştan bölüyorsa, yani P noktası AB doğru parçasının üzerinde değil de, uzantısı üzerinde ise, oran negatif alınır. Yani, |AP|/|PB| = -k olur.

Bu durumda formüller:

x = (x₁ - kx₂) / (1 - k)

y = (y₁ - ky₂) / (1 - k)

şeklinde değişir.

📌 Dikkat Edilmesi Gerekenler

• ⚠️ Oranın doğru hesaplanması çok önemlidir. |AP|/|PB| oranı ile |BP|/|PA| oranı farklıdır.
• 📐 Dıştan bölme durumunda oranın negatif alınması unutulmamalıdır.
• ➕ İşlem hatası yapmamak için dikkatli olunmalıdır.

Bu bilgiler ışığında, bir doğru parçasını belli oranda bölen noktanın koordinatlarını kolaylıkla bulabilirsiniz. Başarılar!