Matematik, sayılarla örülü bir evren gibidir ve bu evrende yolculuk yaparken karşımıza çıkan temel kavramlardan biri de çarpanlar ve katlardır. Bu kavramlar, sayıların gizemli dünyasını anlamamıza ve matematiksel işlemleri daha kolay çözmemize yardımcı olur. Gelin, bu kavramları örneklerle inceleyelim.
Bir sayıyı tam olarak bölebilen sayılara o sayının çarpanları denir. Başka bir deyişle, bir sayıyı iki sayının çarpımı şeklinde yazabiliyorsak, bu iki sayı o sayının çarpanlarıdır.
Örnek: 12 sayısının çarpanlarını bulalım.
Bu durumda 12'nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir.
Bir sayının katları, o sayının kendisiyle ve pozitif tam sayılarla çarpılmasıyla elde edilen sayılardır.
Örnek: 5 sayısının katlarını bulalım.
Bu durumda 5'in katları: 5, 10, 15, 20, ... şeklinde sonsuza kadar devam eder.
Bir sayının çarpanlarından asal olanlarına o sayının asal çarpanları denir. Asal sayılar, sadece 1'e ve kendisine bölünebilen sayılardır (2, 3, 5, 7, 11, ... gibi).
Örnek: 30 sayısının asal çarpanlarını bulalım.
30'un çarpanları: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 ve 30'dur. Bu çarpanlardan asal olanlar ise 2, 3 ve 5'tir.
Bir sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmaya asal çarpanlara ayırma denir. Bu işlem genellikle iki yöntemle yapılır:
Örnek: 60 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
Bölme Algoritması Yöntemi:
60 | 2 30 | 2 15 | 3 5 | 5 1 |
Bu durumda 60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 22 x 3 x 5 şeklinde yazılır.
Çarpanlar ve katlar konusunun önemli bir parçası da EBOB (En Büyük Ortak Bölen) ve EKOK (En Küçük Ortak Kat) kavramlarıdır.
İki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne o sayıların EBOB'u denir.
Örnek: 12 ve 18 sayılarının EBOB'unu bulalım.
12'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12
18'in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Ortak bölenler: 1, 2, 3, 6. Bu durumda EBOB(12, 18) = 6'dır.
İki veya daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüne o sayıların EKOK'u denir.
Örnek: 6 ve 8 sayılarının EKOK'unu bulalım.
6'nın katları: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...
8'in katları: 8, 16, 24, 32, 40, ...
Ortak katlar: 24, 48, 72, ... Bu durumda EKOK(6, 8) = 24'tür.
Çarpanlar ve katlar, matematiksel düşünme becerilerimizi geliştiren ve günlük hayatta karşılaştığımız problemleri çözmemize yardımcı olan temel kavramlardır. Bu kavramları anlamak, matematiksel yolculuğumuzda bize rehberlik edecektir.
