çember denklemi örnekleri

Question

Çember denklemi ile ilgili örnek soruları çözmekte zorlanıyorum. Denklemi nasıl kuracağımı ve çemberin özelliklerini nasıl kullanacağımı tam olarak anlamadım.

Answer 1

🎨 Çember Denklemi Örnekleri ile Geometriye Renk Kat!

Çember denklemi, analitik geometrinin temel taşlarından biridir. Bir çemberin merkezini ve yarıçapını kullanarak, o çember üzerindeki tüm noktaların koordinatlarını belirleyebiliriz. Şimdi, bu bilgiyi pratiğe dökelim ve çeşitli örneklerle çember denklemini nasıl uygulayacağımızı görelim.

🎯 Merkezi ve Yarıçapı Verilen Çember Denklemi

En temel senaryo, çemberin merkezinin koordinatları (h, k) ve yarıçapı (r) verildiğinde çember denklemini yazmaktır. Genel denklem şöyledir:

(x - h)² + (y - k)² = r²

Örnek 1: Merkezi (2, -3) ve yarıçapı 4 birim olan çemberin denklemini bulun.

Çözüm:

h = 2, k = -3 ve r = 4 değerlerini genel denklemde yerine koyalım:

(x - 2)² + (y - (-3))² = 4²

(x - 2)² + (y + 3)² = 16

Bu, aradığımız çember denklemidir.

📐 Çember Üzerindeki Bir Nokta ve Merkezi Verilen Çember Denklemi

Bazen, çemberin merkezi ve çember üzerindeki bir nokta verilir. Bu durumda, yarıçapı bulmak için iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanırız.

Örnek 2: Merkezi (1, 2) olan ve (4, 6) noktasından geçen çemberin denklemini bulun.

Çözüm:

Öncelikle yarıçapı bulalım. Yarıçap, merkez ile çember üzerindeki nokta arasındaki uzaklıktır:

r = √((4 - 1)² + (6 - 2)²) = √(3² + 4²) = √25 = 5

Şimdi, h = 1, k = 2 ve r = 5 değerlerini genel denklemde yerine koyalım:

(x - 1)² + (y - 2)² = 5²

(x - 1)² + (y - 2)² = 25

Bu, aradığımız çember denklemidir.

🧭 Genel Çember Denklemi ve Dönüştürme

Bazen çember denklemi genel formda verilir: x² + y² + Dx + Ey + F = 0. Bu durumda, denklemi standart forma dönüştürerek merkezi ve yarıçapı bulabiliriz.

Örnek 3: x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0 denklemiyle verilen çemberin merkezini ve yarıçapını bulun.

Çözüm:

Denklemi tamamkareye tamamlayarak standart forma dönüştürelim:

(x² - 4x) + (y² + 6y) = 12

(x² - 4x + 4) + (y² + 6y + 9) = 12 + 4 + 9

(x - 2)² + (y + 3)² = 25

Şimdi denklemi standart formda yazdık. Buradan, merkez (2, -3) ve yarıçap r = √25 = 5 olarak bulunur.

📍 Çemberin Eksenlere Teğet Olması Durumu

Bir çember, eksenlere teğet olabilir. Bu durumda, merkezin koordinatları ve yarıçap arasında özel bir ilişki vardır.

• 🍎 Eğer çember x eksenine teğetse, |k| = r olur.
• 🍏 Eğer çember y eksenine teğetse, |h| = r olur.
• 🍋 Eğer çember her iki eksene de teğetse, |h| = |k| = r olur.

Örnek 4: Merkezi 2. bölgede olan ve her iki eksene de teğet olan bir çemberin yarıçapı 3 birimdir. Bu çemberin denklemini bulun.

Çözüm:

Merkez 2. bölgede olduğundan, h negatif ve k pozitiftir. Ayrıca, her iki eksene de teğet olduğundan |h| = |k| = r = 3'tür. Dolayısıyla, merkez (-3, 3)'tür.

Denklem:

(x + 3)² + (y - 3)² = 3²

(x + 3)² + (y - 3)² = 9

Bu örnekler, çember denkleminin farklı senaryolarda nasıl kullanıldığını göstermektedir. Pratik yaparak ve farklı türde sorular çözerek, bu konuyu daha iyi anlayabilirsiniz.