cosinus teoremi örnekleri

Question

Kosinüs teoremi formülünü biliyorum ama ne zaman kullanacağımı karıştırıyorum. Özellikle hangi durumlarda bu teoremi kullanmam gerektiğini ve örnek sorular üzerinde nasıl uygulayacağımı tam olarak anlayamıyorum. Bana bu konuda yardımcı olabilir misiniz?

Answer 1

📐 Kosinüs Teoremi Nedir?

Kosinüs teoremi, bir üçgenin kenar uzunlukları ile bir açısının kosinüsü arasındaki ilişkiyi ifade eder. Özellikle, bir üçgenin tüm kenar uzunlukları biliniyorsa, herhangi bir açısının ölçüsünü bulmamızı sağlar. Ayrıca, iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının ölçüsü biliniyorsa, üçüncü kenar uzunluğunu hesaplayabiliriz.

Teoremin formülü şu şekildedir:

a² = b² + c² - 2bc · cos(A)

Burada:

• 📏 a, b, c: Üçgenin kenar uzunluklarını,
• 📐 A: a kenarının karşısındaki açıyı temsil eder.

💡 Kosinüs Teoremi Örnekleri

✏️ Örnek 1: Kenar Uzunlukları Bilinen Üçgen

Bir ABC üçgeninde a = 7 cm, b = 5 cm, c = 8 cm olsun. A açısının ölçüsünü bulunuz.

Çözüm:

Kosinüs teoremini uygulayalım:

7² = 5² + 8² - 2 · 5 · 8 · cos(A)

49 = 25 + 64 - 80 · cos(A)

49 = 89 - 80 · cos(A)

-40 = -80 · cos(A)

cos(A) = 0.5

A = 60°

Dolayısıyla, A açısının ölçüsü 60 derecedir.

📐 Örnek 2: İki Kenar ve Aralarındaki Açı Bilinen Üçgen

Bir DEF üçgeninde d = 10 cm, e = 6 cm ve F açısı 60° olsun. f kenar uzunluğunu bulunuz.

Çözüm:

Kosinüs teoremini uygulayalım:

f² = d² + e² - 2 · d · e · cos(F)

f² = 10² + 6² - 2 · 10 · 6 · cos(60°)

f² = 100 + 36 - 120 · 0.5

f² = 136 - 60

f² = 76

f = √76 ≈ 8.72 cm

Dolayısıyla, f kenarının uzunluğu yaklaşık olarak 8.72 cm'dir.

✍️ Örnek 3: Gerçek Hayat Uygulaması

Bir gemi A noktasından hareket ederek 8 km kuzeye, ardından 12 km kuzeydoğuya doğru ilerliyor. Başlangıç noktası ile son nokta arasındaki mesafeyi bulunuz.

Çözüm:

Gemi'nin hareketini bir üçgen olarak düşünebiliriz. Kuzey ve kuzeydoğu arasındaki açı 45 derecedir. (90/2 = 45 derece)

Kosinüs teoremini uygulayalım:

Mesafe² = 8² + 12² - 2 · 8 · 12 · cos(45°)

Mesafe² = 64 + 144 - 192 · (√2 / 2)

Mesafe² = 208 - 96√2

Mesafe² ≈ 208 - 135.76

Mesafe² ≈ 72.24

Mesafe ≈ √72.24 ≈ 8.5 km

Dolayısıyla, geminin başlangıç noktası ile son nokta arasındaki mesafe yaklaşık olarak 8.5 km'dir.