Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar: Aralarındaki Farklar Nedir?

Question

Bu sayı kümelerini karıştırıyorum, hangisinin hangisini kapsadığını unutuyorum. Mesela negatif sayılar tam sayılar kümesinde var ama doğal sayılarda yok, değil mi? Rasyonel sayılar ise kesirli ifadeleri içeriyor ama tam sayılar da rasyonel sayı olarak yazılabiliyor sanırım. Kafam biraz karışık!

Answer 1

Doğal Sayılar, Tam Sayılar ve Rasyonel Sayılar

Matematikte sayı kümeleri, farklı özelliklere sahip sayıları gruplandırmak için kullanılır. Bu notta, doğal sayılar, tam sayılar ve rasyonel sayılar arasındaki farkları öğreneceğiz.

1. Doğal Sayılar (\(\mathbb{N}\))

• Tanım: Sayma sayıları olarak da bilinir. Pozitif tam sayılar kümesidir.
• Örnekler: 1, 2, 3, 4, 5, ...
• Özellikler:
  • Sıfır (0) bazı tanımlara göre doğal sayı olarak kabul edilir, bazılarında edilmez.
  • Toplama ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır.

2. Tam Sayılar (\(\mathbb{Z}\))

• Tanım: Negatif ve pozitif tüm sayıları içeren kümedir. Sıfır (0) da bu kümenin elemanıdır.
• Örnekler: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
• Özellikler:
  • Doğal sayıları kapsar.
  • Toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır.

3. Rasyonel Sayılar (\(\mathbb{Q}\))

• Tanım: İki tam sayının oranı şeklinde yazılabilen sayılardır. Payda sıfır olamaz.
• Örnekler: \(\frac{1}{2}\), \(\frac{-3}{4}\), 5 (çünkü \(\frac{5}{1}\) olarak yazılabilir), 0.75 (çünkü \(\frac{3}{4}\)'e eşittir).
• Özellikler:
  • Tam sayıları kapsar.
  • Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme (sıfıra bölme hariç) işlemlerine göre kapalıdır.
  • Ondalık gösterimleri sonlu veya periyodik olabilir.

Aralarındaki İlişki

Bu sayı kümeleri arasında şu şekilde bir kapsama ilişkisi vardır:

Doğal Sayılar \(\subset\) Tam Sayılar \(\subset\) Rasyonel Sayılar

Yani, her doğal sayı aynı zamanda bir tam sayıdır ve her tam sayı da bir rasyonel sayıdır.

Answer 2

Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar: Aralarındaki Farklar Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Aşağıdaki sayı kümelerinden hangisi hem doğal sayıları hem de negatif tam sayıları içerir?
a) Doğal Sayılar
b) Tam Sayılar
c) Rasyonel Sayılar
d) İrrasyonel Sayılar
Cevap: b) Tam Sayılar. Çözüm: Tam sayılar kümesi (ℤ), pozitif ve negatif tüm tam sayıları (örneğin -3, 0, 5) kapsar.

Soru 2: \( \frac{2}{3} \) sayısı için aşağıdakilerden hangisi doğru değildir?
a) Rasyonel sayıdır
b) Tam sayı değildir
c) Doğal sayıdır
d) \( \frac{4}{6} \) ile eşdeğerdir
Cevap: c) Doğal sayıdır. Çözüm: Doğal sayılar (ℕ) 0'dan başlayan pozitif tam sayılardır. Kesirli ifadeler bu kümede yer almaz.

Soru 3: -5 sayısı için hangi ifade yanlıştır?
a) Tam sayıdır
b) Doğal sayı değildir
c) Rasyonel sayı olarak yazılabilir (\( \frac{-5}{1} \))
d) İrrasyonel sayıdır
Cevap: d) İrrasyonel sayıdır. Çözüm: -5, kesirli olarak ifade edilebilen bir tam sayı olduğundan irrasyonel sayı değildir.

Soru 4: Hangisi rasyonel sayıların tanımına uymaz?
a) \( \frac{0}{7} \)
b) \( \sqrt{4} \)
c) \( \pi \) (pi sayısı)
d) 1,25
Cevap: c) \( \pi \) (pi sayısı). Çözüm: \( \pi \), kesirli olarak ifade edilemeyen irrasyonel bir sayıdır. Diğer seçenekler ise \( \frac{a}{b} \) (b≠0) formundadır.