Doğrusal Fonksiyonlarda Tanım ve Görüntü Kümesi Nasıl Belirlenir? Örnekler ve konu özeti

Question

Doğrusal fonksiyonlarda tanım kümesi genellikle tüm reel sayıları kapsar çünkü formül her x değeri için geçerlidir. Görüntü kümesi ise fonksiyonun eğimine bağlıdır; yatay bir doğru değilse yine tüm reel sayılar olur. Örneğin, f(x) = 2x + 3 için hem tanım hem de görüntü kümesi (-∞, ∞) aralığındadır.

Answer 1

Doğrusal Fonksiyonlarda Tanım ve Görüntü Kümesi

Doğrusal fonksiyonlar, matematikte en temel fonksiyon türlerinden biridir. Genel formu \( f(x) = ax + b \)\) şeklindedir. Burada \( a \neq 0 \), \( a \) ve \( b \) reel sayılardır.

Tanım Kümesi (Domain)

Bir fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonun tanımlı olduğu girdi (x) değerlerinin kümesidir.

• Doğrusal fonksiyonlar tüm reel sayılar için tanımlıdır.
• Tanım kümesi: \( \mathbb{R} \) (Reel sayılar kümesi).

Görüntü Kümesi (Range)

Görüntü kümesi, fonksiyonun alabileceği çıktı (y) değerlerinin kümesidir.

• Eğim (a) sıfırdan farklı ise görüntü kümesi \( \mathbb{R} \) olur.
• Eğer \( a = 0 \)\) ise (sabit fonksiyon), görüntü kümesi \( \{b\} \)\) olur.

Örnekler

Örnek 1: \( f(x) = 2x + 3 \)

• Tanım kümesi: \( \mathbb{R} \)
• Görüntü kümesi: \( \mathbb{R} \)

Örnek 2: \( f(x) = -5x + 1 \)

• Tanım kümesi: \( \mathbb{R} \)
• Görüntü kümesi: \( \mathbb{R} \)

Örnek 3: \( f(x) = 4 \) (Sabit fonksiyon)

• Tanım kümesi: \( \mathbb{R} \)
• Görüntü kümesi: \( \{4\} \)

Konu Özeti

• Doğrusal fonksiyonların tanım kümesi her zaman \( \mathbb{R} \) olur.
• Görüntü kümesi, eğim sıfırdan farklı ise \( \mathbb{R} \), sıfır ise sabit bir değer olur.
• Doğrusal fonksiyonların grafiği bir doğru şeklindedir.

Answer 2

Doğrusal Fonksiyonlarda Tanım ve Görüntü Kümesi Çözümlü Test Soruları

Soru 1: \( f(x) = 2x + 3 \) doğrusal fonksiyonu için tanım kümesi \( \mathbb{R} \) olarak verilmiştir. Buna göre görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( (-\infty, 3] \)
b) \( [3, \infty) \)
c) \( \mathbb{R} \)
d) \( \{2, 3\} \)
e) \( \emptyset \)
Cevap: c) \( \mathbb{R} \)
Çözüm: Doğrusal fonksiyonların tanım kümesi \( \mathbb{R} \) ise görüntü kümesi de \( \mathbb{R} \) olur. Çünkü her gerçek sayı için bir çıkış değeri vardır.

Soru 2: \( g(x) = -5x + 1 \) fonksiyonunun tanım kümesi \( [-2, 4] \) aralığında verilmiştir. Görüntü kümesi hangi aralıktadır?
a) \( [-19, 11] \)
b) \( [11, -19] \)
c) \( (-\infty, 1] \)
d) \( [1, \infty) \)
e) \( \{-5, 1\} \)
Cevap: a) \( [-19, 11] \)
Çözüm: Fonksiyon azalan olduğu için \( x = -2 \)'de maksimum (\( g(-2) = 11 \)), \( x = 4 \)'te minimum (\( g(4) = -19 \)) değer alır. Görüntü kümesi bu iki değer arasındadır.

Soru 3: Bir doğrusal fonksiyonun tanım kümesi \( \{1, 2, 3\} \) ve görüntü kümesi \( \{4, 6, 8\} \) olarak verilmiştir. Bu fonksiyonun kuralı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
a) \( f(x) = x + 3 \)
b) \( f(x) = 2x + 2 \)
c) \( f(x) = 3x + 1 \)
d) \( f(x) = -x + 5 \)
e) \( f(x) = 4x \)
Cevap: b) \( f(1) = 4 \), \( f(2) = 6 \), \( f(3) = 8 \) eşleşmesini sağlayan tek seçenek \( f(x) = 2x + 2 \)'dir.

Soru 4: \( h(x) = \frac{1}{2}x - 4 \) fonksiyonu için \( h(a) = 0 \) eşitliğini sağlayan \( a \) değeri aynı zamanda hangi kümenin elemanıdır?
a) Tanım kümesi
b) Görüntü kümesi
c) Fonksiyonun sıfırları
d) Artan fonksiyonlar kümesi
e) Sabit fonksiyonlar kümesi
Cevap: c) Fonksiyonun sıfırları
Çözüm: \( h(a) = 0 \) eşitliği, \( a \) değerinin fonksiyonun kökü (sıfırı) olduğunu gösterir. Bu nedenle sıfırlar kümesine aittir.