Eksenleri kestiği noktaları bilinen parabol denklemi

Question

Bu konuyu anlamakta biraz zorlanıyorum. Eksenleri kestiği noktalar verildiğinde denklemi yazarken hangi formülü kullanmam gerektiğini karıştırıyorum. Özellikle x eksenini iki noktada kesen parabolde çarpanlı formülde sabit sayıyı nasıl bulacağımı tam oturtamadım.

Answer 1

? Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Parabol Denklemi

Bir parabolün denklemini yazabilmek için genellikle üç farklı noktasını bilmemiz gerekir. Ancak eğer parabolün x ve y eksenlerini kestiği noktaları biliyorsak, bu bilgiyi kullanarak denklemi kolayca yazabiliriz. ?

? Temel Formül

Eğer bir parabol:

• ✅ x eksenini \( x = a \) ve \( x = b \) noktalarında kesiyorsa,
• ✅ y eksenini \( y = c \) noktasında kesiyorsa,

Bu parabolün denklemi aşağıdaki formatta yazılabilir:

\[ y = k \cdot (x - a)(x - b) \]

Burada \( k \) bir sabit sayıdır ve değerini bulmak için y eksenini kestiği noktayı kullanırız.

? k Sabitini Bulma

Parabol y eksenini \( (0, c) \) noktasında kestiğine göre, bu nokta denklemi sağlamalıdır. Yani \( x = 0 \) ve \( y = c \) yazarsak:

\[ c = k \cdot (0 - a)(0 - b) \]

\[ c = k \cdot (-a)(-b) \]

\[ c = k \cdot (a \cdot b) \]

Buradan \( k \) değerini çekersek:

\[ k = \frac{c}{a \cdot b} \]

Sonuçta parabolün denklemi:

\[ y = \frac{c}{a \cdot b} \cdot (x - a)(x - b) \]

olur.

? Adım Adım Çözüm Yöntemi

1. ➡️ Bilinenleri yaz: x ekseni kestiği noktalar \( (a, 0) \) ve \( (b, 0) \), y ekseni kestiği nokta \( (0, c) \).
2. ➡️ Genel formu yaz: \( y = k(x - a)(x - b) \)
3. ➡️ y ekseni noktasını yerine koy: \( c = k(0 - a)(0 - b) \)
4. ➡️ k'yı bul: \( k = \frac{c}{a \cdot b} \)
5. ➡️ Denklemi tamamla: \( y = \frac{c}{a \cdot b} \cdot (x - a)(x - b) \)

? Örnek Soru ve Çözümü

Soru: X eksenini \( (-2, 0) \) ve \( (3, 0) \) noktalarında, y eksenini ise \( (0, 6) \) noktasında kesen parabolün denklemini yazınız.

Çözüm:

• ? a = -2, b = 3, c = 6
• ? Genel form: \( y = k(x - (-2))(x - 3) = k(x + 2)(x - 3) \)
• ? y ekseni noktasını koyalım: \( 6 = k(0 + 2)(0 - 3) \)
• ? \( 6 = k(2)(-3) \)
• ? \( 6 = -6k \)
• ? \( k = -1 \)
• ? Denklem: \( y = -1 \cdot (x + 2)(x - 3) \)

Parantezleri açarak sadeleştirelim:

\[ y = -1 \cdot (x^2 - 3x + 2x - 6) \]

\[ y = -1 \cdot (x^2 - x - 6) \]

\[ y = -x^2 + x + 6 \]

Cevap: Parabolün denklemi \( y = -x^2 + x + 6 \) şeklindedir.

⚠️ Dikkat Edilmesi Gerekenler

• ? Eğer parabol x eksenine teğet ise, bu durumda iki kesişim noktası çakışıktır. Yani \( a = b \) olur. Denklem \( y = k(x - a)^2 \) formunu alır.
• ? Verilen noktaların hangi eksende olduğuna dikkat edin. x ekseni üzerindeki noktalarda y=0, y ekseni üzerindeki noktalarda ise x=0'dır.