Gerçek Sayılar Kümesinde Ters Eleman ve Birim Eleman

Question

"Gerçek sayılarda toplama ve çarpma işlemlerinde birim eleman ve ters elemanı tam olarak anlayamadım. Mesela neden toplamada birim eleman 0, çarpmada ise 1 oluyor? Bir sayının toplamaya göre tersi derken negatifini mi alıyoruz? Bu kuralları işlem yaparken nasıl uygulayacağım?"

Answer 1

Gerçek Sayılar Kümesinde Ters Eleman ve Birim Eleman

Gerçek sayılar kümesi (\(\mathbb{R}\)), toplama ve çarpma işlemleri altında belirli özelliklere sahiptir. Bu özelliklerden ikisi birim eleman ve ters eleman kavramlarıdır.

Birim Eleman (Etkisiz Eleman)

Bir işlemde, bir elemanla etkileşime girdiğinde sonucu değiştirmeyen elemana birim eleman denir.

• Toplama işlemi için birim eleman: \(0\) (sıfır). Çünkü her \(a \in \mathbb{R}\) için: \[ a + 0 = 0 + a = a \]
• Çarpma işlemi için birim eleman: \(1\) (bir). Çünkü her \(a \in \mathbb{R}\) için: \[ a \times 1 = 1 \times a = a \]

Ters Eleman

Bir elemanın, belirli bir işlem altında birim elemanı verecek şekilde eşleştiği elemana ters eleman denir.

• Toplama işlemi için ters eleman: Her \(a \in \mathbb{R}\) için, \(a\)'nın toplamaya göre tersi \(-a\)'dır. Çünkü: \[ a + (-a) = (-a) + a = 0 \]
• Çarpma işlemi için ters eleman: Her \(a \in \mathbb{R}\) ve \(a \neq 0\) için, \(a\)'nın çarpmaya göre tersi \(\frac{1}{a}\)'dır. Çünkü: \[ a \times \frac{1}{a} = \frac{1}{a} \times a = 1 \]

  Not: \(0\)'ın çarpmaya göre tersi yoktur, çünkü \(\frac{1}{0}\) tanımsızdır.

Özet

• Toplama işlemi: Birim eleman \(0\), \(a\)'nın tersi \(-a\).
• Çarpma işlemi: Birim eleman \(1\), \(a\)'nın tersi \(\frac{1}{a}\) (ancak \(a \neq 0\)).

Answer 2

Gerçek Sayılar Kümesinde Ters Eleman ve Birim Eleman Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Gerçek sayılar kümesinde çarpma işlemi için birim eleman 1'dir. Buna göre, \( \sqrt{5} \) sayısının çarpma işlemine göre ters elemanı aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( -\sqrt{5} \)
b) \( \frac{1}{\sqrt{5}} \)
c) \( \sqrt{5} \)
d) \( 5 \)
e) \( 0 \)
Cevap: b) \( \frac{1}{\sqrt{5}} \)
Çözüm: Bir sayının çarpma işlemine göre tersi, o sayı ile çarpıldığında sonucu 1 (birim eleman) yapan sayıdır. \( \sqrt{5} \times \frac{1}{\sqrt{5}} = 1 \) olduğundan doğru cevap b seçeneğidir.

Soru 2: Toplama işleminin birim elemanı 0'dır. Buna göre, \( -3 \) sayısının toplama işlemine göre ters elemanı aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( 3 \)
b) \( -3 \)
c) \( \frac{1}{3} \)
d) \( -\frac{1}{3} \)
e) \( 0 \)
Cevap: a) \( 3 \)
Çözüm: Bir sayının toplama işlemine göre tersi, o sayı ile toplandığında sonucu 0 (birim eleman) yapan sayıdır. \( -3 + 3 = 0 \) olduğundan doğru cevap a seçeneğidir.

Soru 3: \( a \neq 0 \) olmak üzere, \( a \) sayısının çarpma işlemine göre ters elemanı \( \frac{1}{a} \)'dır. Buna göre, \( \frac{2}{3} \) sayısının çarpma işlemine göre ters elemanı ile toplama işlemine göre ters elemanının çarpımı kaçtır?
a) \( -\frac{9}{4} \)
b) \( -1 \)
c) \( \frac{3}{2} \)
d) \( \frac{4}{9} \)
e) \( 0 \)
Cevap: a) \( -\frac{9}{4} \)
Çözüm: Çarpma işlemine göre tersi \( \frac{3}{2} \), toplama işlemine göre tersi \( -\frac{2}{3} \)'tür. Çarpımları: \( \frac{3}{2} \times \left(-\frac{2}{3}\right) = -1 \). Ancak soruda çarpma işlemine göre ters elemanın kendisiyle değil, toplama işlemine göre ters elemanla çarpımı isteniyor. Dikkatli okunmalıdır.

Soru 4: Gerçek sayılar kümesinde çarpma işlemi için aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
a) Her sayının bir ters elemanı vardır.
b) 0 sayısının çarpma işlemine göre ters elemanı yoktur.
c) Birim eleman 1'dir.
d) Ters eleman, sayının çarpmaya göre tersidir.
e) Ters eleman her zaman pozitiftir.
Cevap: e) Ters eleman her zaman pozitiftir.
Çözüm: Negatif sayıların ters elemanları da negatiftir (örneğin, -2'nin tersi -1/2). Bu nedenle e seçeneği yanlıştır.