Gerçek sayıların üslü ve köklü gösterimleri ile yapılan işlemler

Question

Hocam, gerçek sayılarda üslü ve köklü sayılarla işlem yaparken kafam çok karışıyor. Özellikle farklı üsler ve kök dereceleri olduğunda ne yapacağımı şaşırıyorum. Bir de bu işlemleri yaparken nelere dikkat etmem gerektiğini tam olarak anlayamıyorum.

Answer 1

🔢 Gerçek Sayılarda Üslü İfadeler

Gerçek sayılar kümesi üzerinde üslü ifadeler, matematiğin temel taşlarından biridir. Bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımını ifade etmenin kısa ve etkili bir yoludur.

➕ Temel Tanımlar

• 🍎 Taban: Üssü alınan sayıdır. Örneğin, aⁿ ifadesinde 'a' tabandır.
• 🍏 Üs (Kuvvet): Tabanın kaç kez kendisiyle çarpılacağını gösteren sayıdır. Örneğin, aⁿ ifadesinde 'n' üsdür.
• 🍊 Üslü İfade: Taban ve üssün bir araya gelmesiyle oluşan ifadedir. Örneğin, aⁿ bir üslü ifadedir.

✖️ Üslü İfadelerin Özellikleri

• 🍎 Çarpma İşlemi: Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken üsler toplanır: a^m * aⁿ = a^m+n
• 🍏 Bölme İşlemi: Tabanları aynı olan üslü ifadeler bölünürken üsler çıkarılır: a^m / aⁿ = a^m-n (a ≠ 0)
• 🍊 Üssün Üssü: Bir üslü ifadenin üssü alınırken üsler çarpılır: (a^m)ⁿ = a^m*n
• 🍋 Negatif Üs: Bir sayının negatif üssü, o sayının çarpmaya göre tersinin pozitif üssüne eşittir: a^-n = 1/aⁿ (a ≠ 0)
• 🍇 Sıfır Üssü: Sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1'e eşittir: a⁰ = 1 (a ≠ 0)

∛ Gerçek Sayılarda Köklü İfadeler

Köklü ifadeler, bir sayının belirli bir dereceden kökünü almayı ifade eder. Üslü ifadelerin tersi olarak düşünülebilir.

➕ Temel Tanımlar

• 🍎 Kök Derecesi: Kök içindeki sayının hangi dereceden kökünün alınacağını gösterir. Örneğin, ⁿ√a ifadesinde 'n' kök derecesidir.
• 🍏 Kök İçi: Kök işareti içindeki sayıdır. Örneğin, ⁿ√a ifadesinde 'a' kök içidir.
• 🍊 Köklü İfade: Kök derecesi ve kök içinden oluşan ifadedir. Örneğin, ⁿ√a bir köklü ifadedir.

✖️ Köklü İfadelerin Özellikleri

• 🍎 Kök Dışına Çıkarma: Kök içindeki sayının, kök derecesine uygun bir çarpanı varsa, bu çarpan kök dışına çıkarılabilir. Örneğin, √8 = √(4*2) = 2√2
• 🍏 Kök İçine Alma: Kök dışındaki bir sayı, kök içine alınırken kök derecesiyle üssü alınarak kök içindeki sayıyla çarpılır. Örneğin, 2√3 = √(2² * 3) = √12
• 🍊 Kök Derecesini Genişletme/Sadeleştirme: Kök derecesi ve kök içindeki sayının üssü aynı sayıyla çarpılabilir veya bölünebilir. Örneğin, ⁴√9 = ⁴√(3²) = √3
• 🍋 Çarpma İşlemi: Kök dereceleri aynı olan köklü ifadeler çarpılabilir: ⁿ√a * ⁿ√b = ⁿ√(a*b)
• 🍇 Bölme İşlemi: Kök dereceleri aynı olan köklü ifadeler bölünebilir: ⁿ√a / ⁿ√b = ⁿ√(a/b) (b ≠ 0)

➗ Üslü ve Köklü İfadeler Arasındaki İlişki

Köklü ifadeler, üslü ifadelerle ifade edilebilir. ⁿ√a = a^1/n şeklindedir. Bu sayede köklü ifadelerle yapılan işlemler, üslü ifadelerin özellikleriyle çözülebilir.

Örnek: ³√8 = 8^1/3 = (2³)^1/3 = 2¹ = 2