📐 İki Kare Farkı: \( a^2 - b^2 \)
İki kare farkı, cebirde sıkça karşılaştığımız ve çarpanlara ayırmada çok işe yarayan bir özdeşliktir. Bu konuyu iyi anlamak, denklem çözümlerini ve sadeleştirmeleri kolaylaştırır.
🎯 Formül ve Açılımı
İki kare farkının genel formülü şu şekildedir:
\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)
Bu formül bize, iki terimin karelerinin farkının, bu iki terimin farkı ile toplamının çarpımına eşit olduğunu söyler.
🧠 Formülün Mantığı
Bu formülün neden doğru olduğunu görmek için sağ tarafı çarpalım:
\( (a - b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b \)
\( = a^2 + ab - ab - b^2 \)
\( = a^2 - b^2 \)
Gördüğünüz gibi, \( +ab \) ve \( -ab \) birbirini götürdü ve geriye sadece \( a^2 - b^2 \) kaldı. ✅
💡 Örneklerle Pekiştirelim
Şimdi bu formülü kullanarak birkaç örnek yapalım:
- ➡️ \( x^2 - 9 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.
Burada \( a^2 = x^2 \) ise \( a = x \), \( b^2 = 9 \) ise \( b = 3 \)'tür.
O halde: \( x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \)
- ➡️ \( 4y^2 - 25z^2 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.
Burada \( a^2 = 4y^2 \) ise \( a = 2y \), \( b^2 = 25z^2 \) ise \( b = 5z \)'dir.
O halde: \( 4y^2 - 25z^2 = (2y - 5z)(2y + 5z) \)
- ➡️ \( 1 - 16m^2 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.
Burada \( a^2 = 1 \) ise \( a = 1 \), \( b^2 = 16m^2 \) ise \( b = 4m \)'dir.
O halde: \( 1 - 16m^2 = (1 - 4m)(1 + 4m) \)
⚠️ Dikkat Edilmesi Gerekenler
- 📌 Bu formül sadece fark durumunda geçerlidir. \( a^2 + b^2 \) ifadesi bu şekilde çarpanlara ayrılamaz.
- 📌 Formülü uygulayabilmek için her iki terimin de mutlaka birer tam kare olması gerekir.
- 📌 İşlem sırasını karıştırmamak önemlidir: Önce fark, sonra toplam çarpılır. \( (a - b)(a + b) \)
🔍 Nerede Kullanırız?
İki kare farkı formülü şu durumlarda hayat kurtarıcıdır:
- 🎯 Kesirleri sadeleştirirken,
- 🎯 İkinci dereceden denklemleri çözerken,
- 🎯 Cebirsel ifadeleri en sade haline getirirken.
Bu formülü iyice öğrenmek ve bol bol pratik yapmak, cebirdeki birçok konuyu daha rahat anlamanıza yardımcı olacaktır. 📚
