İki kare farkı ile paydayı rasyonel yapma

Question

Paydadaki köklü ifadeyi nasıl sadeleştireceğimi tam olarak anlayamadım. İki kare farkını kullanarak rasyonel yaparken hangi işlem sırasını takip etmem gerekiyor? Özellikle işaret hataları yapıyorum ve formülü uyguladıktan sonra sadeleştirme yaparken zorlanıyorum.

Answer 1

# 📘 DERS NOTU: İki Kare Farkı ile Paydayı Rasyonel Yapma

🎯 Konuya Giriş: Neden Paydayı Rasyonel Yaparız?

Matematikte, özellikle cebirsel ifadeleri sadeleştirirken veya işlem kolaylığı sağlamak için paydada köklü ifade bulunan kesirlerin paydasını rasyonel hale getirmek isteriz. Bu işlem, hem ifadenin daha sade görünmesini sağlar hem de ileride yapılacak toplama, çıkarma, integral alma gibi işlemleri kolaylaştırır. Bu derste, iki kare farkı özdeşliğini kullanarak paydayı nasıl rasyonel yapacağımızı öğreneceğiz.

🔑 Temel Formül: İki Kare Farkı Özdeşliği

İşlemin temelinde aşağıdaki önemli özdeşlik yatar:

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)

Bu formülü, paydasında \( a - b \) veya \( a + b \) gibi ifadeler bulunan ve bu ifadelerin kareköklü olduğu kesirlerde kullanacağız. Amacımız, paydayı köklü ifadeden kurtarmak için eşlenik ifadeyle çarpmaktır.

📝 Eşlenik (Konjuge) İfade Nedir?

İki terimli bir ifadenin eşleniği, sadece bu iki terim arasındaki işaretin ters çevrilmesiyle elde edilir.

• 🎯 \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \) ifadesinin eşleniği: \( \sqrt{a} - \sqrt{b} \)
• 🎯 \( 5 - \sqrt{3} \) ifadesinin eşleniği: \( 5 + \sqrt{3} \)
• 🎯 \( \sqrt{x} - 2 \) ifadesinin eşleniği: \( \sqrt{x} + 2 \)

Önemli Kural: Bir kesrin pay ve paydasını, paydanın eşleniği ile çarparsak kesrin değeri değişmez (1 ile çarpmış oluruz).

🧮 Örneklerle İşlem Adımları

✨ Örnek 1: Basit Köklü İfade

\( \frac{4}{\sqrt{5} - 1} \) ifadesinin paydasını rasyonel yapalım.

Adım 1: Paydanın eşleniğini belirle: \( \sqrt{5} + 1 \)

Adım 2: Pay ve paydayı bu eşlenik ile çarp:

\( \frac{4}{\sqrt{5} - 1} \cdot \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1} = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5})^2 - (1)^2} \)

Adım 3: İki kare farkını uygula ve sadeleştir:

\( = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{5 - 1} = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{4} = \sqrt{5} + 1 \)

Sonuç: Payda artık köklü ifade içermiyor.

✨ Örnek 2: Katsayılı İfade

\( \frac{3}{2\sqrt{7} + 3} \) ifadesini rasyonel yapalım.

Adım 1: Eşlenik: \( 2\sqrt{7} - 3 \)

Adım 2: Çarpma işlemi:

\( \frac{3}{2\sqrt{7} + 3} \cdot \frac{2\sqrt{7} - 3}{2\sqrt{7} - 3} = \frac{3(2\sqrt{7} - 3)}{(2\sqrt{7})^2 - (3)^2} \)

Adım 3: Hesaplama:

\( = \frac{3(2\sqrt{7} - 3)}{4 \cdot 7 - 9} = \frac{3(2\sqrt{7} - 3)}{28 - 9} = \frac{3(2\sqrt{7} - 3)}{19} \)

Sonuç: \( \frac{6\sqrt{7} - 9}{19} \) (Payda rasyonel, işlem tamam).

⚠️ Örnek 3: Dikkat Edilmesi Gereken Durum (Küp Kök)

İki kare farkı yöntemi sadece karekök için geçerlidir. Paydada küp kök (\( \sqrt[3]{a} \)) varsa bu yöntem işe yaramaz. Farklı yöntemler (küp açılımı gibi) kullanılmalıdır.

📊 Pratik İpuçları ve Özet

• ✅ Her zaman paydanın eşleniği ile çarp.
• ✅ İki kare farkı formülünü doğru uygula: \( (\sqrt{a})^2 = a \) olduğunu unutma.
• ✅ Çarpma işleminden sonra payı dağıtmayı ve sadeleştirme fırsatını kaçırma.
• ❌ Pay ve paydayı farklı ifadelerle çarpma (değer değişir!).
• ❌ Sadece paydayı değil, payı da eşlenikle çarpmayı unutma.

🔍 Alıştırma Sorusu

Aşağıdaki ifadenin paydasını rasyonel yapınız:

\( \frac{5}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \)

İpucu: Paydanın eşleniği \( \sqrt{6} - \sqrt{2} \) olacak ve iki kare farkı uygulandığında payda \( 6 - 2 = 4 \) olacaktır.

Bu yöntem, matematikte sıkça karşılaşılan bir sadeleştirme tekniğidir. Limit, türev ve integral problemlerinde de benzer işlemlerle karşılaşacağınız için bu konuyu iyi öğrenmeniz önemlidir. 🧠