İkinci Dereceden Denklemler: Diskriminant (Delta) ve Kök Bulma

Question

Diskriminant ne işe yarıyor? Kökleri nasıl buluyoruz? Bu formüller çok karmaşık geliyor. Nerede hangi formülü kullanacağımı şaşırıyorum.

Answer 1

🧮 İkinci Dereceden Denklemler: Diskriminant (Delta) ve Kök Bulma

İkinci dereceden denklemler, matematik ve fizikte sıkça karşılaştığımız, birçok problemin çözümünde anahtar rol oynayan denklemlerdir. Genel formu ax² + bx + c = 0 şeklindedir. Bu denklemleri çözmek, yani köklerini bulmak için farklı yöntemler mevcuttur. Bu yöntemlerden en önemlisi, diskriminant (delta) kavramını kullanarak kökleri bulmaktır.

➗ Diskriminant (Δ) Nedir?

Diskriminant, ikinci dereceden bir denklemin köklerinin doğasını belirleyen bir ifadedir. Δ (delta) sembolü ile gösterilir ve şu şekilde hesaplanır:

Δ = b² - 4ac

Burada a, x²'nin katsayısı; b, x'in katsayısı; c ise sabit terimdir.

❓ Diskriminantın Anlamı ve Köklerin İncelenmesi

Diskriminantın değeri, denklemin kökleri hakkında bize önemli bilgiler verir:

• 🟢 Δ > 0: Denklem, birbirinden farklı iki reel köke sahiptir. Bu, denklemin grafiğinin x eksenini iki farklı noktada kestiği anlamına gelir.
• 🟡 Δ = 0: Denklem, birbirine eşit (çakışık) iki reel köke sahiptir. Bu, denklemin grafiğinin x eksenine teğet olduğu anlamına gelir.
• 🔴 Δ < 0: Denklem, reel köklere sahip değildir. Kökler karmaşık sayılardır. Bu, denklemin grafiğinin x eksenini kesmediği anlamına gelir.

📝 Köklerin Bulunması

Diskriminantı hesapladıktan sonra, denklemin köklerini aşağıdaki formüllerle bulabiliriz:

x₁ = (-b + √Δ) / 2a

x₂ = (-b - √Δ) / 2a

Eğer Δ = 0 ise, x₁ = x₂ = -b / 2a olur.

✍️ Örnek Çözümler

📌 Örnek 1: x² - 5x + 6 = 0

a = 1, b = -5, c = 6

Δ = (-5)² - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1

Δ > 0 olduğundan, iki farklı reel kök vardır.

x₁ = (5 + √1) / 2 = 3

x₂ = (5 - √1) / 2 = 2

📌 Örnek 2: x² + 4x + 4 = 0

a = 1, b = 4, c = 4

Δ = (4)² - 4 * 1 * 4 = 16 - 16 = 0

Δ = 0 olduğundan, birbirine eşit iki reel kök vardır.

x₁ = x₂ = -4 / 2 = -2

📌 Örnek 3: x² + x + 1 = 0

a = 1, b = 1, c = 1

Δ = (1)² - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3

Δ < 0 olduğundan, reel kök yoktur. Kökler karmaşıktır.