Kesirli mutlak değer fonksiyonları nasıl çözülür?

Question

Kesirli mutlak değer sorularında pay ve paydanın işaretlerini ayrı ayrı incelemek gerekiyor. Özellikle paydanın sıfır olduğu noktaları bulup kritik aralıklara ayırınca daha rahat çözebiliyorum ama bazen hangi aralıkta nasıl davranacağını karıştırıyorum.

Answer 1

Kesirli Mutlak Değer Fonksiyonlarının Çözümü

Kesirli mutlak değer fonksiyonları, pay veya paydada mutlak değer içeren rasyonel ifadelerdir. Bu tür fonksiyonların çözümü için kritik noktalar belirlenmeli ve fonksiyonun davranışı bu noktalara göre incelenmelidir.

Adım 1: Mutlak Değer İfadelerini Parçalara Ayırma

Mutlak değer içeren ifadeler, içlerindeki ifadenin işaretine göre farklı davranır. Örneğin:

• \( |x| = \begin{cases} x & \text{eğer } x \geq 0 \\ -x & \text{eğer } x < 0 \end{cases} \)

Bu nedenle, kesirli mutlak değer fonksiyonlarını çözerken kritik noktaları belirlemek gerekir.

Adım 2: Kritik Noktaları Belirleme

Fonksiyonda mutlak değer içindeki ifadelerin sıfır olduğu noktalar kritik noktalardır. Örneğin:

• \( f(x) = \frac{|x-2|}{x+1} \) için kritik nokta \( x = 2 \) (payın sıfır olduğu yer) ve \( x = -1 \) (paydanın sıfır olduğu yer, tanımsız).

Adım 3: Aralıklara Göre Fonksiyonu Yeniden Yazma

Kritik noktalara göre sayı doğrusunu aralıklara bölün ve her aralıkta mutlak değer ifadesini uygun şekilde açın. Örneğin:

• Aralık 1: \( x < -1 \) için \( |x-2| = -(x-2) = -x + 2 \)
• Aralık 2: \( -1 < x < 2 \) için \( |x-2| = -(x-2) = -x + 2 \)
• Aralık 3: \( x \geq 2 \) için \( |x-2| = x - 2 \)

Bu durumda fonksiyon, her aralıkta farklı bir şekilde yazılır.

Adım 4: Çözümü Her Aralıkta Ayrı Ayrı İnceleme

Her aralık için fonksiyonu sadeleştirip çözüm yapılır. Örneğin:

• Aralık 1: \( f(x) = \frac{-x + 2}{x + 1} \)
• Aralık 2: \( f(x) = \frac{-x + 2}{x + 1} \)
• Aralık 3: \( f(x) = \frac{x - 2}{x + 1} \)

Daha sonra her aralıkta denklem veya eşitsizlik çözülür.

Örnek Çözüm

\( f(x) = \frac{|x-3|}{x-1} \leq 2 \) eşitsizliğini çözelim:

• Kritik noktalar: \( x = 3 \) (pay) ve \( x = 1 \) (payda).
• Aralıklar: \( (-\infty, 1) \), \( (1, 3) \), \( [3, \infty) \).
• Her aralıkta mutlak değer açılarak çözülür ve sonuçlar birleştirilir.

Not: Paydanın sıfır olduğu noktalarda fonksiyon tanımsızdır!

Answer 2

Kesirli Mutlak Değer Fonksiyonları Çözümlü Test Soruları

Soru 1: \( f(x) = \left| \frac{2x - 1}{x + 3} \right| \) fonksiyonunun tanımsız olduğu \( x \) değeri aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( \frac{1}{2} \)
b) \( -\frac{1}{2} \)
c) \( 3 \)
d) \( -3 \)
e) \( 0 \)
Cevap: d) \( -3 \)
Çözüm: Payda \( x + 3 = 0 \) olduğunda fonksiyon tanımsızdır. Bu durum \( x = -3 \) için sağlanır.

Soru 2: \( \left| \frac{x - 4}{2x + 1} \right| = 1 \) denklemini sağlayan \( x \) değerlerinin toplamı kaçtır?
a) \( \frac{10}{3} \)
b) \( \frac{8}{3} \)
c) \( 2 \)
d) \( -\frac{2}{3} \)
e) \( -\frac{8}{3} \)
Cevap: e) \( -\frac{8}{3} \)
Çözüm: \( \frac{x-4}{2x+1} = 1 \) veya \( \frac{x-4}{2x+1} = -1 \) çözülür. İlk denklemden \( x = -5 \), ikinciden \( x = 1 \) bulunur. Toplam: \( -5 + 1 = -4 \). Ancak paydayı sıfır yapan \( x = -\frac{1}{2} \) hariç tutulmalıdır.

Soru 3: \( f(x) = \left| \frac{3x - 6}{x - 2} \right| \) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a) \( x = 2 \) noktasında süreklidir.
b) \( x = 2 \) noktasında tanımlıdır.
c) \( x \neq 2 \) için \( f(x) = 3 \)'tür.
d) Grafiği orijinden geçer.
e) Hiçbir \( x \) değeri için tanımsız değildir.
Cevap: c) \( x \neq 2 \) için \( f(x) = 3 \)'tür.
Çözüm: \( x \neq 2 \) iken \( \frac{3x-6}{x-2} = 3 \) olduğundan mutlak değer içi daima pozitif ve 3'tür.

Soru 4: \( \left| \frac{5 - 2x}{x + 1} \right| \leq 1 \) eşitsizliğini sağlayan \( x \) tam sayılarının toplamı kaçtır?
a) \( 6 \)
b) \( 4 \)
c) \( 2 \)
d) \( 0 \)
e) \( -2 \)
Cevap: a) \( 6 \)
Çözüm: Eşitsizlik \( -1 \leq \frac{5-2x}{x+1} \leq 1 \) şeklinde çözülür. Çözüm kümesi \( [1, 4] \) aralığıdır. Tam sayılar: 1, 2, 3, 4 → Toplam: 10. Ancak \( x = -1 \) tanımsız olduğundan dikkate alınmaz.