Kök Dışına Nasıl Çıkılır? Kural ve Örneklerle

Question

Karekök içindeki bir sayıyı kök dışına çıkarmak için tam kare sayıları bilmek gerekiyor. Mesela √12'yi 2√3 şeklinde yazabiliriz çünkü 12'nin içinde 4 (2²) tam karesi var. Pratik yapınca hangi sayıların dışarı çıkabileceğini daha rahat görüyorsunuz.

Answer 1

Kök Dışına Çıkarma Kuralları

Matematikte, kök içindeki bir sayıyı kök dışına çıkarmak için belirli kurallar vardır. Bu işlem, köklü ifadeleri sadeleştirmek için kullanılır.

1. Tam Kare Sayıların Kök Dışına Çıkarılması

Eğer kök içindeki sayı bir tam kare ise, kök dışına tam sayı olarak çıkarılabilir.

• \(\sqrt{16} = 4\) (Çünkü \(4^2 = 16\))
• \(\sqrt{25} = 5\) (Çünkü \(5^2 = 25\))

2. Çarpanlarına Ayırarak Kök Dışına Çıkarma

Kök içindeki sayı tam kare değilse, çarpanlarına ayrılarak kök dışına çıkarılabilir.

Kural: \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\)

• \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2}\)
• \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}\)

3. Katsayılı Köklü İfadelerde Kök Dışına Çıkarma

Kökün önünde bir katsayı varsa, kök dışına çıkarırken bu katsayıyla çarpılır.

• \(2\sqrt{12} = 2 \times \sqrt{4 \times 3} = 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\)
• \(3\sqrt{27} = 3 \times \sqrt{9 \times 3} = 3 \times 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\)

4. Küp Köklerde Kök Dışına Çıkarma

Küp köklerde de benzer bir yöntem uygulanır, ancak bu sefer tam küp olan çarpanlar aranır.

• \(\sqrt[3]{8} = 2\) (Çünkü \(2^3 = 8\))
• \(\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \times 2} = \sqrt[3]{27} \times \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}\)

Özet: Kök dışına çıkarmak için kök içindeki sayıyı tam kare veya tam küp çarpanlarına ayırmak ve kök dışına bu çarpanların köklerini alarak çıkarmak gerekir.

Answer 2

Kök Dışına Çıkılır Kural ve Örneklerle Çözümlü Test Soruları

Soru 1: \( \sqrt{72} \) sayısını kök dışına çıkardığımızda aşağıdaki sonuçlardan hangisi elde edilir?
a) \( 6\sqrt{2} \)
b) \( 8\sqrt{3} \)
c) \( 7\sqrt{2} \)
d) \( 9\sqrt{2} \)
Cevap: a) \( 6\sqrt{2} \)
Çözüm: 72 = 36 × 2 şeklinde yazılır. \( \sqrt{36} = 6 \) olduğundan, \( \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \) olur.

Soru 2: \( \sqrt{125} \) ifadesinin kök dışına çıkarılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( 5\sqrt{5} \)
b) \( 10\sqrt{2} \)
c) \( 12\sqrt{5} \)
d) \( 15\sqrt{5} \)
Cevap: a) \( 5\sqrt{5} \)
Çözüm: 125 = 25 × 5 olduğundan, \( \sqrt{125} = \sqrt{25} × \sqrt{5} = 5\sqrt{5} \) şeklinde sadeleştirilir.

Soru 3: \( \sqrt{200} \) sayısının kök dışına çıkarılmış hali için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a) \( 5\sqrt{8} \)
b) \( 10\sqrt{2} \)
c) \( 20\sqrt{5} \)
d) \( 15\sqrt{3} \)
Cevap: b) \( 10\sqrt{2} \)
Çözüm: 200 = 100 × 2 olduğu için \( \sqrt{200} = \sqrt{100} × \sqrt{2} = 10\sqrt{2} \) olarak yazılır.

Soru 4: \( \sqrt{48} \) ifadesinin kök dışına çıkarılmış şekli aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( 2\sqrt{12} \)
b) \( 3\sqrt{16} \)
c) \( 4\sqrt{3} \)
d) \( 6\sqrt{2} \)
Cevap: c) \( 4\sqrt{3} \)
Çözüm: 48 = 16 × 3 olduğundan, \( \sqrt{48} = \sqrt{16} × \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \) şeklinde sadeleştirilir.