koşullu olasılık örnekler

Question

Koşullu olasılıkta neyin koşul olduğunu, neyin sonuç olduğunu karıştırıyorum. Örnekleri çözerken hangi formülü kullanacağımı bilemiyorum.

Answer 1

확률 Koşullu Olasılık Nedir?

Koşullu olasılık, bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde başka bir olayın gerçekleşme olasılığıdır. Yani, bir ön bilgiye sahip olduğumuzda olasılık değerleri nasıl değişir sorusuna cevap ararız. Bu kavram, günlük hayattan karmaşık istatistiksel modellere kadar pek çok alanda karşımıza çıkar.

Formülü şu şekildedir:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Burada:

• 🍎 P(A|B): B olayının gerçekleştiği bilindiğinde A olayının gerçekleşme olasılığı (A, B koşullu olasılığı).
• 🍎 P(A ∩ B): A ve B olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığı.
• 🍎 P(B): B olayının gerçekleşme olasılığı.

Unutulmaması gereken önemli nokta, P(B) > 0 olmalıdır; yani, koşul olarak kullandığımız olayın olasılığı sıfırdan farklı olmalıdır.

🎲 Koşullu Olasılık Örnekleri

🏀 Örnek 1: Basketbol Maçı

Bir basketbol takımının bir maçı kazanma olasılığı %60'tır. Takımın maçı kazanması durumunda şampiyon olma olasılığı %80'dir. Buna göre, takımın maçı kazanması koşuluyla şampiyon olma olasılığı nedir?

Çözüm:

• 🏀 A olayı: Takımın şampiyon olması.
• 🏀 B olayı: Takımın maçı kazanması.
• 🏀 P(B) = 0.6 (Takımın maçı kazanma olasılığı)
• 🏀 P(A|B) = 0.8 (Takımın maçı kazanması durumunda şampiyon olma olasılığı)

Bu soruda direkt olarak P(A|B) değeri verilmiştir. Cevap %80'dir.

☔️ Örnek 2: Hava Durumu ve Piknik

Bir şehirde yağmur yağma olasılığı %30'dur. Piknik yapma olasılığı %50'dir. Yağmur yağdığında piknik yapılma olasılığı %10'dur. Buna göre, piknik yapıldığı bilindiğine göre yağmur yağma olasılığı nedir?

Çözüm:

• ☔️ A olayı: Yağmur yağması.
• ☔️ B olayı: Piknik yapılması.
• ☔️ P(A) = 0.3 (Yağmur yağma olasılığı)
• ☔️ P(B) = 0.5 (Piknik yapma olasılığı)
• ☔️ P(B|A) = 0.1 (Yağmur yağdığında piknik yapılma olasılığı)

Öncelikle P(A ∩ B) değerini bulmamız gerekir: P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) => P(A ∩ B) = P(B|A) * P(A) = 0.1 * 0.3 = 0.03

Şimdi koşullu olasılığı hesaplayabiliriz: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0.03 / 0.5 = 0.06

Yani, piknik yapıldığı bilindiğine göre yağmur yağma olasılığı %6'dır.

🎰 Örnek 3: Kumar Makinesi

Bir kumar makinesinde kazanma olasılığı %1'dir. Makinede hile yapma olasılığı %0.1'dir. Hile yapıldığında kazanma olasılığı %80'dir. Buna göre, bir kişinin kazandığı bilindiğine göre hile yapmış olma olasılığı nedir?

Çözüm:

• 🎰 A olayı: Hile yapılması.
• 🎰 B olayı: Kazanılması.
• 🎰 P(A) = 0.001 (Hile yapma olasılığı)
• 🎰 P(B) = 0.01 (Kazanma olasılığı)
• 🎰 P(B|A) = 0.8 (Hile yapıldığında kazanma olasılığı)

Öncelikle P(A ∩ B) değerini bulmamız gerekir: P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) => P(A ∩ B) = P(B|A) * P(A) = 0.8 * 0.001 = 0.0008

Şimdi koşullu olasılığı hesaplayabiliriz: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0.0008 / 0.01 = 0.08

Yani, bir kişinin kazandığı bilindiğine göre hile yapmış olma olasılığı %8'dir.

🎯 Koşullu Olasılığın Kullanım Alanları

• 🎯 Tıp: Hastalık teşhisinde, semptomlara göre hastalık olasılığını belirlemede.
• 🎯 Finans: Kredi riskini değerlendirmede, piyasa analizlerinde.
• 🎯 Mühendislik: Sistem güvenilirliğini analiz etmede, hata olasılıklarını hesaplamada.
• 🎯 Yapay Zeka: Makine öğrenimi algoritmalarında, sınıflandırma problemlerinde.