Matematikte işlem, bir küme üzerinde tanımlanan ve bu kümenin elemanlarını kullanarak yeni bir eleman elde etmemizi sağlayan bir kuraldır. KPSS matematik sorularında sıklıkla karşımıza çıkan bu konu, tanım, özellikler ve işlem tablosu olmak üzere üç ana başlıkta incelenir.
Formal olarak: A ≠ ∅ kümesi verilsin. A × A kartezyen çarpımından A kümesine tanımlı her fonksiyona, A kümesinde bir işlem denir. İşlem genellikle ∗, ∆, ⊕, ⊗ gibi sembollerle gösterilir.
Bir ∗ işlemi için, kümenin her a ve b elemanı için a ∗ b = b ∗ a ise, bu işlemin değişme özelliği vardır.
Örnek: Reel sayılarda toplama (+) işlemi değişmelidir: \( 3 + 5 = 5 + 3 \).
Her a, b, c elemanı için (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) ise, işlemin birleşme özelliği vardır.
Örnek: Çarpma (×) işlemi birleşmelidir: \( (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) \).
Eğer kümede öyle bir e elemanı varsa ki, her a elemanı için a ∗ e = e ∗ a = a oluyorsa, e'ye bu işlemin birim elemanı denir.
Örnekler:
∗ işleminin birim elemanı e olsun. Eğer her a elemanı için a ∗ b = b ∗ a = e olacak şekilde bir b elemanı varsa, b'ye a'nın tersi denir ve genellikle a⁻¹ ile gösterilir.
Örnek: Toplamada 5'in tersi -5'tir: \( 5 + (-5) = 0 \). Çarpmada 4'ün tersi \( \frac{1}{4} \)'tür: \( 4 × \frac{1}{4} = 1 \).
Bir kümede ∗ ve # gibi iki işlem tanımlı olsun. Eğer her a, b, c için:
sağlanıyorsa, ∗ işleminin # işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
Örnek: Çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği: \( a × (b + c) = (a × b) + (a × c) \).
Sonlu bir kümede tanımlı işlem, bir tablo ile gösterilebilir. Bu tablo, işlemin sonuçlarını hızlıca bulmamızı sağlar.
Örnek Tablo (A = {1, 2, 3} kümesinde ∆ işlemi):
Tablo okunurken: Satır ∩ Sütun = Kesişimdeki değer işlem sonucudur.
Örneğin, 2 ∆ 3 sonucu bulunurken 2. satır ile 3. sütunun kesişimine bakılır.
Son Söz: KPSS'de işlem soruları, konuyu iyi kavrayan adaylar için net kazandıran sorulardır. Yukarıdaki özellikleri iyice özümseyip, bol bol farklı tarzda soru çözerek bu konuda uzmanlaşabilirsiniz. 🚀
