📐 2026 TYT: Küpün İçine Küre Yerleştirme Hacim İlişkisi
Küpün içine bir küre yerleştirdiğimizde, bu iki geometrik cisim arasındaki hacim ilişkisini anlamak, matematik problemlerini çözerken bize çok yardımcı olabilir. İşte bu konuyu daha yakından inceleyelim:
- 🧊 Küpün Hacmi: Küpün tüm kenarları eşit uzunluktadır. Bir kenarının uzunluğuna 'a' dersek, küpün hacmi $V_{küp} = a^3$ formülü ile bulunur. Yani, bir küpün hacmini bulmak için bir kenarının uzunluğunu üç kere kendisiyle çarparız.
- ⚽ Kürenin Hacmi: Küre ise, merkezden her noktasına eşit uzaklıkta olan yuvarlak bir cisimdir. Kürenin hacmi $V_{küre} = \frac{4}{3} \pi r^3$ formülü ile hesaplanır. Burada 'r' kürenin yarıçapını, $\pi$ ise yaklaşık olarak 3.14 olan pi sayısını temsil eder.
- 🤝 İlişki: Şimdi gelelim küpün içine yerleştirilen küreye. Eğer bir kürenin, bir küpün içine tam olarak sığdığını düşünürsek (yani küre, küpün tüm yüzeylerine değiyor), kürenin çapı küpün bir kenarının uzunluğuna eşit olur. Bu durumda, kürenin yarıçapı (r), küpün kenarının uzunluğunun (a) yarısıdır: $r = \frac{a}{2}$.
➕ Hacimlerin Karşılaştırılması
Küpün içine yerleştirilen kürenin hacmini, küpün hacmi ile karşılaştırmak için şu adımları izleyebiliriz:
- 1️⃣ Kürenin Yarıçapını Bul: Öncelikle, küpün kenar uzunluğunu biliyorsak, kürenin yarıçapını kolayca bulabiliriz: $r = \frac{a}{2}$.
- 2️⃣ Kürenin Hacmini Hesapla: Daha sonra, bu yarıçapı kullanarak kürenin hacmini hesaplarız: $V_{küre} = \frac{4}{3} \pi (\frac{a}{2})^3$.
- 3️⃣ Oranı Bul: Son olarak, kürenin hacminin küpün hacmine oranını bularak, iki cisim arasındaki hacim ilişkisini belirleyebiliriz: $\frac{V_{küre}}{V_{küp}} = \frac{\frac{4}{3} \pi (\frac{a}{2})^3}{a^3}$. Bu oranı sadeleştirdiğimizde, $\frac{\pi}{6}$ sonucunu elde ederiz. Bu da yaklaşık olarak 0.523'e denk gelir. Yani, kürenin hacmi küpün hacminin yaklaşık %52.3'ü kadardır.
💡 Örnek Soru
Bir kenarı 6 cm olan bir küpün içine yerleştirilebilecek en büyük kürenin hacmi kaç $\text{cm}^3$ tür? ($\pi = 3$ alınız)
- 🍎 Çözüm:
- Öncelikle kürenin yarıçapını bulalım: $r = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3$ cm.
- Sonra kürenin hacmini hesaplayalım: $V_{küre} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \cdot 3 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108 \text{ cm}^3$.
Bu tür soruları çözerken, formülleri doğru uygulamak ve geometrik şekiller arasındaki ilişkileri iyi anlamak önemlidir. Başarılar!
