Mutlak Değer İçeren Eşitsizlikler Nasıl Çözülür? TYT Örnek Sorular

Question

Mutlak değer içeren eşitsizlikleri çözmekte zorlanıyorum. Özellikle TYT'de çıkan örnek soruları nasıl çözebilirim? Hangi adımları izlemem gerekiyor?

Answer 1

🧮 Mutlak Değer Nedir?

Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusu üzerindeki sıfıra olan uzaklığıdır. Yani, bir sayının işaretsiz halidir. Örneğin, hem 3'ün hem de -3'ün mutlak değeri 3'tür. Matematiksel olarak $|x|$ şeklinde gösterilir.

• 📏 Tanım: Bir sayının sıfıra olan uzaklığıdır.
• ➕ Pozitif Sayılar: Pozitif bir sayının mutlak değeri kendisidir. Örneğin, $|5| = 5$.
• ➖ Negatif Sayılar: Negatif bir sayının mutlak değeri, o sayının pozitif halidir. Örneğin, $|-5| = 5$.
• 0️⃣ Sıfır: Sıfırın mutlak değeri sıfırdır. $|0| = 0$.

❓ Mutlak Değerli Eşitsizlikler Ne Anlama Gelir?

Mutlak değerli eşitsizlikler, içinde mutlak değer bulunan ve eşitsizlik sembolleri (<, >, ≤, ≥) içeren ifadelerdir. Bu tür eşitsizlikleri çözerken, mutlak değerin içindeki ifadenin pozitif ve negatif olma durumlarını ayrı ayrı değerlendiririz.

• < Küçüktür: $|x| < a$ eşitsizliği, x'in -a ile a arasında olduğunu ifade eder. Yani, $-a < x < a$.
• > Büyüktür: $|x| > a$ eşitsizliği, x'in -a'dan küçük veya a'dan büyük olduğunu ifade eder. Yani, $x < -a$ veya $x > a$.
• ≤ Küçük Eşittir: $|x| ≤ a$ eşitsizliği, x'in -a ile a arasında ve -a ile a'ya eşit olabileceğini ifade eder. Yani, $-a ≤ x ≤ a$.
• ≥ Büyük Eşittir: $|x| ≥ a$ eşitsizliği, x'in -a'dan küçük veya eşit ya da a'dan büyük veya eşit olduğunu ifade eder. Yani, $x ≤ -a$ veya $x ≥ a$.

✍️ Mutlak Değerli Eşitsizlikler Nasıl Çözülür?

Mutlak değerli eşitsizlikleri çözerken aşağıdaki adımları izleyebiliriz:

1. Eşitsizliği İncele: Eşitsizlikteki mutlak değer ifadesini ve eşitsizlik sembolünü belirle.
2. Durumları Belirle: Mutlak değerin içindeki ifadenin pozitif ve negatif olma durumlarını ayrı ayrı ele al.
3. Çözüm Kümesini Bul: Her durum için eşitsizliği çöz ve çözüm kümelerini belirle.
4. Birleştir: Bulunan çözüm kümelerini birleştirerek genel çözüm kümesini elde et.

💡 Örnek Soru 1:

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan x değerlerini bulunuz:

$|x - 2| < 3$

Çözüm:

Bu eşitsizlik $|x - 2| < 3$ şeklinde olduğundan, $-3 < x - 2 < 3$ demektir. Her tarafa 2 ekleyerek x'i yalnız bırakırız:

$-3 + 2 < x - 2 + 2 < 3 + 2$

$-1 < x < 5$

Yani çözüm kümesi $(-1, 5)$ aralığıdır.

💡 Örnek Soru 2:

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan x değerlerini bulunuz:

$|2x + 1| ≥ 5$

Çözüm:

Bu eşitsizlik $|2x + 1| ≥ 5$ şeklinde olduğundan, iki durum söz konusudur:

• Durum 1: $2x + 1 ≥ 5$
  • $2x ≥ 4$
  • $x ≥ 2$
• Durum 2: $2x + 1 ≤ -5$
  • $2x ≤ -6$
  • $x ≤ -3$

Yani çözüm kümesi $(-\infty, -3] \cup [2, \infty)$'dur.

🎯 TYT'de Karşılaşabileceğin Örnek Sorular

📝 Örnek Soru 3 (TYT):

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan kaç farklı tam sayı değeri vardır?

$2 < |x - 1| ≤ 4$

A) 4     B) 5     C) 6     D) 7     E) 8

Çözüm:

Bu eşitsizliği iki ayrı eşitsizlik olarak inceleyelim:

1. $|x - 1| > 2$
2. $|x - 1| ≤ 4$

1. Eşitsizlik: $|x - 1| > 2$

• $x - 1 > 2 \Rightarrow x > 3$
• $x - 1 < -2 \Rightarrow x < -1$

2. Eşitsizlik: $|x - 1| ≤ 4$

• $-4 ≤ x - 1 ≤ 4$
• $-3 ≤ x ≤ 5$

Şimdi bu iki çözüm kümesini birleştirelim. $x$, $-3 ≤ x ≤ 5$ aralığında olmalı ve aynı zamanda $x < -1$ veya $x > 3$ koşulunu sağlamalıdır.

Bu durumda, uygun tam sayı değerleri: -3, -2, 4, 5'tir.

Yani toplamda 4 farklı tam sayı değeri vardır. Doğru cevap A) 4.