🎲 Olasılık Nedir?
Olasılık, bir olayın gerçekleşme şansının sayısal olarak ifade edilmesidir. Günlük hayatta sıkça kullandığımız "belki", "olabilir", "kesin değil" gibi ifadelerin matematiksel karşılığıdır. Olasılık, 0 ile 1 arasında bir değer alır.
- 💯 Kesin Olay: Gerçekleşmesi kesin olan olayların olasılığı 1'dir. Örneğin, havaya atılan bir paranın ya yazı ya da tura gelmesi.
- ⛔ İmkansız Olay: Gerçekleşmesi mümkün olmayan olayların olasılığı 0'dır. Örneğin, tek bir zar atışında 7 gelmesi.
- ❓ Olasılık Değeri: Bir olayın olasılığı ne kadar yüksekse, o olayın gerçekleşme ihtimali de o kadar yüksektir.
🧮 Temel Kavramlar
Olasılık hesaplamaları yaparken bazı temel kavramları bilmek önemlidir.
🎯 Deney
Bir olayın sonucunu görmek için yapılan işleme
deney denir. Örneğin, bir zar atmak bir deneydir.
📍 Örnek Uzay (E)
Bir deneyde elde edilebilecek tüm olası sonuçların kümesine
örnek uzay denir. Örneğin, bir zar atma deneyinde örnek uzay $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$'dır.
🎉 Olay (A)
Örnek uzayın herhangi bir alt kümesine
olay denir. Örneğin, bir zar atma deneyinde "çift sayı gelmesi" bir olaydır. Bu olayı $A = \{2, 4, 6\}$ şeklinde gösterebiliriz.
📐 Olasılık Hesaplama
Bir olayın olasılığını hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanırız:
$P(A) = \frac{s(A)}{s(E)}$
Burada;
* $P(A)$: A olayının olasılığı
* $s(A)$: A olayının eleman sayısı (A olayını sağlayan sonuçların sayısı)
* $s(E)$: Örnek uzayın eleman sayısı (tüm olası sonuçların sayısı)
Örnek: Bir zar atıldığında tek sayı gelme olasılığı nedir?
* Örnek Uzay: $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ve $s(E) = 6$
* Tek Sayı Gelme Olayı: $A = \{1, 3, 5\}$ ve $s(A) = 3$
* Olasılık: $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Yani, bir zar atıldığında tek sayı gelme olasılığı $\frac{1}{2}$'dir.
📌 Olasılık Türleri
Olasılık hesaplamalarında farklı durumlar için farklı olasılık türleri kullanılır.
🤝 Bağımsız Olaylar
Birbirini etkilemeyen olaylara
bağımsız olaylar denir. İki bağımsız olayın birlikte gerçekleşme olasılığı, olasılıklarının çarpımına eşittir.
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
Örnek: Bir parayı iki kez havaya attığımızda her ikisinde de yazı gelme olasılığı nedir?
* İlk atışta yazı gelme olasılığı: $P(A) = \frac{1}{2}$
* İkinci atışta yazı gelme olasılığı: $P(B) = \frac{1}{2}$
* İkisinde de yazı gelme olasılığı: $P(A \cap B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
🔗 Bağımlı Olaylar
Birbirini etkileyen olaylara
bağımlı olaylar denir. Bir olayın gerçekleşmesi, diğer olayın olasılığını değiştirir.
➕ Ayrık Olaylar
Aynı anda gerçekleşmesi mümkün olmayan olaylara
ayrık olaylar denir. İki ayrık olayın birleşiminin olasılığı, olasılıklarının toplamına eşittir.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
Örnek: Bir zar atıldığında ya 2 ya da 5 gelme olasılığı nedir?
* 2 gelme olasılığı: $P(A) = \frac{1}{6}$
* 5 gelme olasılığı: $P(B) = \frac{1}{6}$
* Ya 2 ya da 5 gelme olasılığı: $P(A \cup B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$
