📐 Tam Sayı Bölenlerinin Toplamını Bulma
Bir tam sayının tüm bölenlerinin toplamını bulmak için sistematik bir yaklaşım kullanmamız gerekir. Bu konuyu adım adım öğrenelim.
🎯 Temel Kavramlar
- ✅ Pozitif Bölenler: Bir sayıyı kalansız bölen pozitif tam sayılar
- ✅ Asal Çarpanlar: Bir sayıyı oluşturan asal sayılar
- ✅ Bölen Sayısı: Bir sayının kaç tane pozitif böleni olduğu
🔢 Yöntem: Asal Çarpanlara Ayırma
Bir sayının bölenlerinin toplamını bulmak için önce sayıyı asal çarpanlarına ayırırız:
Örneğin: 12 sayısını ele alalım:
🧮 Formül
Bir N sayısının asal çarpanlara ayrılmış hali:
N = p₁a₁ × p₂a₂ × ... × pₙaₙ
Bu durumda pozitif bölenlerinin toplamı:
Toplam = (p₁0 + p₁1 + ... + p₁a₁) × (p₂0 + p₂1 + ... + p₂a₂) × ...
Matematiksel olarak:
\[
T = \prod_{i=1}^{n} \frac{p_i^{a_i+1}-1}{p_i-1}
\]
📝 Örnek 1: 12 Sayısı
- 🔹 12 = 2² × 3¹
- 🔹 2'nin kuvvetleri toplamı: 2⁰ + 2¹ + 2² = 1 + 2 + 4 = 7
- 🔹 3'ün kuvvetleri toplamı: 3⁰ + 3¹ = 1 + 3 = 4
- 🔹 Toplam = 7 × 4 = 28
12'nin pozitif bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12 → 1+2+3+4+6+12 = 28 ✅
📝 Örnek 2: 18 Sayısı
- 🔹 18 = 2¹ × 3²
- 🔹 2'nin kuvvetleri toplamı: 2⁰ + 2¹ = 1 + 2 = 3
- 🔹 3'ün kuvvetleri toplamı: 3⁰ + 3¹ + 3² = 1 + 3 + 9 = 13
- 🔹 Toplam = 3 × 13 = 39
18'in pozitif bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18 → 1+2+3+6+9+18 = 39 ✅
💡 İpuçları
- 📌 Formülü kullanırken her asal çarpan için 0'dan başlayarak tüm kuvvetlerini topluyoruz
- 📌 Sonuçları çarparak toplam bölen sayısını buluyoruz
- 📌 Bu yöntem sadece pozitif bölenlerin toplamını verir
- 📌 Tüm tam sayı bölenlerini (pozitif ve negatif) bulmak isterseniz, sonucu 0 yaparsınız çünkü her pozitif bölenin bir negatif eşi vardır
🎓 Pratik Uygulama
Bu yöntemi kullanarak herhangi bir tam sayının bölenlerinin toplamını kolayca bulabilirsiniz. Önce asal çarpanlara ayırmayı unutmayın!
