TYT Matematik Kampı: |xy| = |x||y| Konu Anlatımı ve Soru Çözümü

Question

TYT matematik kampında |xy| = |x||y| konusunu tam olarak anlamadım. Bu konuyu daha basit bir şekilde anlatır mısınız ve soru çözümü yapar mısınız?

Answer 1

🧮 Mutlak Değer ve |xy| = |x||y| İlişkisi

Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusu üzerindeki sıfıra olan uzaklığını ifade eder. Yani, mutlak değer içindeki sayı pozitifse aynen çıkar, negatifse işareti değiştirilerek pozitif yapılır. Örneğin, |5| = 5 ve |-3| = 3'tür.

➕ |xy| = |x||y| Ne Anlama Geliyor?

Bu özellik, iki sayının çarpımının mutlak değerinin, bu sayıların mutlak değerlerinin çarpımına eşit olduğunu söyler. Yani, önce sayıları çarpıp sonra mutlak değerini almakla, önce her birinin mutlak değerini alıp sonra çarpmak aynı sonucu verir.

• 💡 Açıklama: Bu özellik, mutlak değerin çarpma işlemi üzerindeki dağılma özelliğidir diyebiliriz.

📝 Bu Özelliği Nasıl Kullanırız?

Bu özellik, mutlak değerli denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken işimizi kolaylaştırır. Özellikle karmaşık ifadelerde, önce mutlak değerleri ayırıp sonra işlemleri yapmak daha pratik olabilir.

• 🔑 Örnek: $|2x| = |2||x| = 2|x|$

❓ Soru Çözümü

Şimdi bu özelliği kullanarak birkaç soru çözelim.

Soru 1:

$|3x - 6| = 9$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

Öncelikle ifadeyi düzenleyelim:

$|3(x - 2)| = 9$

Şimdi özelliği kullanalım:

$|3||x - 2| = 9$

$3|x - 2| = 9$

$|x - 2| = 3$

Buradan iki durum ortaya çıkar:

• 🍎 Durum 1: $x - 2 = 3$ ise $x = 5$
• 🍏 Durum 2: $x - 2 = -3$ ise $x = -1$

Yani çözüm kümesi: $\{-1, 5\}$

Soru 2:

$|-2x + 4| < 6$ eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm:

İfadeyi düzenleyelim:

$|-2(x - 2)| < 6$

$|-2||x - 2| < 6$

$2|x - 2| < 6$

$|x - 2| < 3$

Bu durumda:

$-3 < x - 2 < 3$

Her tarafa 2 ekleyelim:

$-1 < x < 5$

Yani çözüm aralığı: $(-1, 5)$

🎯 Önemli Notlar

• 📌 Bu özellik sadece çarpma işleminde geçerlidir. Toplama veya çıkarma işlemlerinde böyle bir özellik yoktur. Yani, $|x + y| \neq |x| + |y|$ genellikle.
• ✏️ Mutlak değerli ifadelerle işlem yaparken her zaman dikkatli olun ve olası durumları göz önünde bulundurun.
• 📐 Unutmayın, mutlak değer her zaman pozitiftir veya sıfırdır.