Üçgende Açı Kenar Bağıntıları Nedir? Örnek Sorular

Question

Üçgende açı kenar bağıntıları, bir üçgenin kenar uzunluklarıyla açıları arasındaki ilişkiyi anlatan kurallardır. Mesela, bir açı büyüdükçe karşısındaki kenarın uzunluğu da artar ama bunu sorularda nasıl uygulayacağımı tam kestiremiyorum. Basit örneklerle anlatılırsa daha iyi kavrayabilirim.

Answer 1

Üçgende Açı Kenar Bağıntıları

Üçgende açı kenar bağıntıları, bir üçgenin kenar uzunlukları ile açıları arasındaki ilişkiyi ifade eder. Bu bağıntılar, üçgenlerin temel özelliklerinden biridir ve geometri problemlerini çözerken sıkça kullanılır.

1. Temel Açı Kenar Bağıntıları

• Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar bulunur.
• Eğer iki açı eşitse, bu açıların karşısındaki kenarlar da eşittir.
• Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyüktür. (Üçgen eşitsizliği)

2. Örneklerle Açıklama

Örnek 1: Bir ABC üçgeninde \( m(\widehat{A}) = 50^\circ \), \( m(\widehat{B}) = 70^\circ \) ve \( m(\widehat{C}) = 60^\circ \) ise kenar uzunlukları arasındaki sıralama nedir?

Çözüm: En büyük açı \( \widehat{B} \) olduğu için en uzun kenar \( AC \)'dir. Sıralama: \( AC > AB > BC \).

Örnek 2: Bir üçgenin kenar uzunlukları 5 cm, 8 cm ve \( x \) cm'dir. \( x \)'in alabileceği tam sayı değerleri nelerdir?

Çözüm: Üçgen eşitsizliğine göre:

• \( 8 - 5 < x < 8 + 5 \)
• \( 3 < x < 13 \)

\( x \)'in alabileceği tam sayı değerleri: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

3. Önemli Uyarılar

• Açı kenar bağıntıları yalnızca üçgenlerde geçerlidir.
• Dik üçgenlerde hipotenüs daima en uzun kenardır.
• Eşkenar üçgenlerde tüm açılar \( 60^\circ \) olduğundan, tüm kenarlar eşittir.

Answer 2

Üçgende Açı Kenar Bağıntıları Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC üçgeninde m(∠A) = 50°, m(∠B) = 70° ve m(∠C) = 60° olduğuna göre, kenar uzunlukları arasındaki doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir?
a) a < b < c
b) b < a < c
c) c < b < a
d) a < c < b
e) b < c < a
Cevap: d) a < c < b
Çözüm: Üçgende büyük açı karşısında büyük kenar bulunur. En büyük açı ∠B (70°) olduğu için en uzun kenar b'dir. Sıralama: a (50° karşısı) < c (60° karşısı) < b.

Soru 2: Kenar uzunlukları 5 cm, 7 cm ve 10 cm olan bir üçgenin en büyük açısı kaç derecedir?
a) 45°
b) 60°
c) 90°
d) 100°
e) 120°
Cevap: d) 100°
Çözüm: Kosinüs teoremi ile: \(10^2 = 5^2 + 7^2 - 2·5·7·cosα\). Hesaplanınca cosα ≈ -0,17 → α ≈ 100° bulunur.

Soru 3: Şekildeki ABC üçgeninde |AB| = 8 cm, |AC| = 6 cm ve m(∠BAC) > 60° ise |BC| için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
a) |BC| < 6 cm
b) 6 cm < |BC| < 8 cm
c) |BC| > 8 cm
d) |BC| < 2√13 cm
e) |BC| > 2√13 cm
Cevap: e) |BC| > 2√13 cm
Çözüm: Kosinüs teoremine göre \( |BC| = \sqrt{8^2 + 6^2 - 2·8·6·cosα} \). α > 60° olduğundan cosα < 0,5 → |BC| > \(\sqrt{100-48} = 2\sqrt{13}\) cm olur.