Üçgende Açıortay ve Kenarortay Bağıntıları

Question

Bu konuda açıortay ve kenarortay formüllerini karıştırıyorum. Hangi durumda hangi bağıntıyı kullanacağımı tam olarak ayırt edemiyorum. Özellikle sorularda ikisinin de aynı anda yer aldığı durumlar kafamı karıştırıyor.

Answer 1

📐 Üçgende Açıortay ve Kenarortay Bağıntıları: Ders Notu

Üçgenler, geometrinin temel taşlarından biridir ve içerdikleri çeşitli bağıntılarla matematiğin zenginliğini ortaya koyarlar. Bu ders notunda, üçgenlerde sıklıkla karşılaşılan açıortay ve kenarortay kavramlarını ve bu kavramlara ilişkin önemli bağıntıları inceleyeceğiz.

📏 Açıortay Bağıntıları

Açıortay, bir açıyı iki eş parçaya bölen doğru parçasıdır. Üçgenlerde iç ve dış açıortaylar olmak üzere iki tür açıortay bulunur.

📐 İç Açıortay Teoremi

Bir üçgende bir iç açıortay, karşı kenarı, diğer iki kenarın uzunlukları oranında böler. Yani, ABC üçgeninde AD iç açıortayı ise, |AB| / |AC| = |BD| / |DC| olur.

• 📌 İç Açıortay Uzunluğu: İç açıortayın uzunluğunu hesaplamak için aşağıdaki formül kullanılabilir: V_a² = b.c - p.n (Burada V_a, a açısına ait iç açıortayın uzunluğu, b ve c diğer kenar uzunlukları, p ve n ise açıortayın böldüğü kenarın parçalarının uzunluklarıdır).
• 💡 Örnek: Bir ABC üçgeninde |AB| = 6 cm, |AC| = 8 cm ve |BC| = 7 cm ise, A açısından çizilen iç açıortay BC kenarını hangi oranlarda böler? Cevap: 3/4 oranında böler. Yani, |BD| = 3k ve |DC| = 4k ise 3k + 4k = 7'den k = 1 ve dolayısıyla |BD| = 3 cm ve |DC| = 4 cm olur.

📐 Dış Açıortay Teoremi

Bir üçgende bir dış açıortay, karşı kenarın uzantısını, diğer iki kenarın uzunlukları oranında böler. Yani, ABC üçgeninde AD dış açıortayı ise, |AB| / |AC| = |BD| / |CD| olur.

• 📌 Dış Açıortay Uzunluğu: Dış açıortayın uzunluğunun hesaplanması iç açıortaya göre daha karmaşıktır ve genellikle sorularda verilen bilgilere göre farklı yöntemlerle bulunur.
• 💡 Örnek: Bir ABC üçgeninde |AB| = 5 cm, |AC| = 3 cm ve |BC| = 4 cm ise, A açısından çizilen dış açıortay BC kenarının uzantısını hangi oranlarda böler? Cevap: 5/3 oranında böler.

📏 Kenarortay Bağıntıları

Kenarortay, bir köşeden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasıdır. Her üçgenin üç kenarortayı vardır ve bu kenarortaylar üçgenin ağırlık merkezinde kesişirler.

📐 Kenarortay Teoremi (Apollonius Teoremi)

Bir üçgende bir kenarortay, diğer iki kenar ve kenarortayın böldüğü kenarın yarısı arasında bir ilişki kurar. ABC üçgeninde AD kenarortayı ise, |AB|² + |AC|² = 2(|AD|² + |BD|²) olur.

• 📌 Ağırlık Merkezi: Kenarortayların kesişim noktası olan ağırlık merkezi, kenarortayı köşeye daha yakın olacak şekilde 2:1 oranında böler.
• 💡 Örnek: Bir ABC üçgeninde |AB| = 4 cm, |AC| = 6 cm ve |BC| = 5 cm ise, A açısından çizilen kenarortayın uzunluğunu bulunuz. Apollonius teoremi uygulanarak 4² + 6² = 2(|AD|² + (5/2)²) denklemi çözülerek |AD| uzunluğu bulunabilir.

📐 Üçgenin Alanı ve Kenarortaylar

Üçgenin alanı, kenarortaylar yardımıyla da ifade edilebilir. Üçgenin kenarortayları, üçgeni altı eşit alanlı küçük üçgene böler.

• 📌 Alan Bağıntısı: Eğer üçgenin alanı A ise, her bir küçük üçgenin alanı A/6'dır.
• 💡 Örnek: Bir ABC üçgeninin alanı 36 cm² ise, kenarortaylar tarafından oluşturulan küçük üçgenlerden birinin alanı kaç cm²'dir? Cevap: 6 cm²'dir.

Bu ders notunda, üçgenlerde açıortay ve kenarortay kavramlarına ilişkin temel bağıntıları inceledik. Bu bilgilerin, geometri problemlerini çözerken size yardımcı olacağını umuyoruz. Başarılar!