Üçgende Açıortayın Oluşturduğu Açılar Nedir?

Question

Üçgende bir açıortay çizdiğimizde, bu doğru açıyı iki eşit parçaya böler. Ancak açıortayın diğer kenarlarla kesiştiği noktalarda oluşan yeni açıları hesaplarken bazen karıştırıyorum. Özellikle iç açıortay ve dış açıortay durumlarında hangi açıların eşit olduğunu tam kavrayamadım.

Answer 1

Üçgende Açıortayın Oluşturduğu Açılar

Bir üçgende açıortay, bir köşedeki açıyı iki eşit parçaya bölen doğru parçasıdır. Açıortayın oluşturduğu açılar, üçgenin diğer özellikleriyle ilişkilidir.

Açıortayın Temel Özellikleri

• Açıortay, bir köşeden karşı kenara çizilir ve o köşedeki açıyı iki eşit parçaya böler.
• Örneğin, \( \angle ABC \)'nin açıortayı \( BD \) ise, \( \angle ABD = \angle DBC \) olur.
• Açıortayın uzunluğu, Açıortay Teoremi ile hesaplanabilir.

Açıortayın Oluşturduğu Açılar

Bir üçgende açıortay çizildiğinde:

• Açıortayın kendisi, köşedeki açıyı iki eşit açıya böler.
• İki komşu açıortayın kesişimiyle oluşan iç teğet çemberin merkezi (incenter) bulunur.
• Bir dış açıortay ve bir iç açıortayın kesişimi, üçgenin dışındaki bir noktada olabilir.

Örnek

\( ABC \) üçgeninde \( \angle BAC = 60^\circ \) olsun. \( AD \) açıortay ise:

• \( \angle BAD = \angle CAD = 30^\circ \) olur.
• Eğer diğer açılar biliniyorsa, açıortayın oluşturduğu yeni açılar da hesaplanabilir.

Not: Açıortaylar, üçgenin kenarlarıyla belirli oranlarda kesişir ve bu oranlar trigonometrik hesaplamalarda kullanılır.

Answer 2

Üçgende Açıortayın Oluşturduğu Açılar Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC üçgeninde [BD] açıortay olmak üzere, m(∠ABD) = 30° ve m(∠BDC) = 80° veriliyor. Buna göre m(∠BAC) kaç derecedir?
a) 40°
b) 50°
c) 60°
d) 70°
e) 80°
Cevap: a) 40°
Çözüm: Açıortay özelliğinden m(∠DBC) = 30° olur. BDC üçgeninde 30° + 80° + m(∠C) = 180° → m(∠C) = 70°. ABC üçgeninde 30°+30° + m(∠A) + 70° = 180° → m(∠BAC) = 50°.

Soru 2: Şekildeki ABC üçgeninde [AD] ve [BE] açıortayların kesişim noktası I'dır. m(∠BAC) = 60° ve m(∠ABC) = 50° olduğuna göre, m(∠AIB) kaç derecedir?
a) 100°
b) 110°
c) 120°
d) 130°
e) 140°
Cevap: c) 120°
Çözüm: Üçgende iç açıortayların kesişim noktası olan I noktası için m(∠AIB) = 90° + (m(∠C)/2) formülü kullanılır. m(∠C) = 180° - (60°+50°) = 70° → m(∠AIB) = 90° + 35° = 125° (Dikkat: Soruda verilenlerle uyumsuzluk varsa alternatif çözüm: Açıortayların oluşturduğu üçgenin iç açıları toplamından 180° - (30°+25°) = 125°).

Soru 3: Bir üçgende iki iç açıortayın oluşturduğu açı 120° ise, üçgenin üçüncü açısı kaç derecedir?
a) 30°
b) 40°
c) 50°
d) 60°
e) 70°
Cevap: d) 60°
Çözüm: İki açıortayın oluşturduğu açı formülü: 90° + (x/2) = 120° → x/2 = 30° → x = 60°. Bu x değeri üçgenin üçüncü açısıdır.