9. Sınıf Üslü Gösterimlerle Çarpma ve Bölme İşlemi Nasıl Yapılır? Konu Özeti ve Soruları

Question

Üslü sayılarla çarpma ve bölme yaparken tabanlar aynı ise üsleri topluyoruz veya çıkarıyoruz ama farklı tabanlarla işlem yapınca kafam karışıyor. Özellikle negatif üsler ve parantezli ifadelerde işlem sırasını karıştırıyorum. Bu konuyla ilgili basit bir özet ve bol örnek soru arıyorum.

Answer 1

Üslü Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemi

Üslü sayı, bir sayının kendisiyle kaç kez çarpılacağını gösteren kısa bir gösterimdir. Örneğin, \( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \)'dir. Burada 2 taban, 3 ise üs (veya kuvvet) olarak adlandırılır.

1. Aynı Tabanlı Üslü İfadelerle Çarpma İşlemi

Kural: Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken, taban aynen yazılır ve üsler toplanır.

Genel Formül: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)

Örnekler:

• \( 2^4 \times 2^5 = 2^{4+5} = 2^9 \)
• \( (-3)^2 \times (-3)^3 = (-3)^{2+3} = (-3)^5 \)
• \( 10^7 \times 10^{-2} = 10^{7 + (-2)} = 10^5 \)

2. Aynı Tabanlı Üslü İfadelerle Bölme İşlemi

Kural: Tabanları aynı olan üslü ifadeler bölünürken, taban aynen yazılır ve payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.

Genel Formül: \( \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

Örnekler:

• \( \dfrac{3^8}{3^6} = 3^{8-6} = 3^2 \)
• \( \dfrac{5^4}{5^9} = 5^{4-9} = 5^{-5} \)
• \( \dfrac{x^{12}}{x^3} = x^{12-3} = x^9 \)

3. Üsleri Aynı Olan İfadelerle Çarpma ve Bölme

Kural (Çarpma): Üsleri aynı olan ifadeler çarpılırken, tabanlar çarpılır, üs aynen yazılır.

Formül: \( a^m \times b^m = (a \times b)^m \)

Örnek: \( 2^3 \times 5^3 = (2 \times 5)^3 = 10^3 \)

Kural (Bölme): Üsleri aynı olan ifadeler bölünürken, tabanlar bölünür, üs aynen yazılır.

Formül: \( \dfrac{a^m}{b^m} = \left( \dfrac{a}{b} \right)^m \)

Örnek: \( \dfrac{8^2}{4^2} = \left( \dfrac{8}{4} \right)^2 = 2^2 \)

4. Dikkat Edilmesi Gerekenler

• Parantezlere dikkat et! \( (-2)^4 \) ile \( -2^4 \) aynı şey değildir.
  • \( (-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = +16 \)
  • \( -2^4 = -(2 \times 2 \times 2 \times 2) = -16 \)
• Üssün 0 olması: Sıfırdan farklı herhangi bir sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir. \( a^0 = 1 \) (a ≠ 0)
• Üssün 1 olması: Bir sayının birinci kuvveti sayının kendisine eşittir. \( a^1 = a \)

Alıştırma Soruları

1. \( 7^3 \times

Answer 2

9. Sınıf Üslü Gösterimlerle Çarpma ve Bölme İşlemi Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir bakteri kültüründe, her saat başı bakteri sayısı 2⁴ katına çıkmaktadır. Başlangıçta 2¹⁰ adet bakteri bulunduğuna göre, 3 saat sonra kültürdeki toplam bakteri sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
a) 2¹²   b) 2¹³   c) 2²⁰   d) 2²²   e) 2²⁴
Cevap: d) 2²²
Çözüm: 3 saat sonra bakteri sayısı 2¹⁰ × (2⁴)³ = 2¹⁰ × 2¹² = 2¹⁰⁺¹² = 2²² olur. Üslü sayılarla çarpma işleminde tabanlar aynı ise üsler toplanır.

Soru 2: \( \frac{5^7 \cdot 25^2 \cdot 10^{-3}}{125 \cdot 100^2} \) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? (25=5², 125=5³, 100=10²)
a) 5²   b) 5³   c) 5⁴   d) 10^-5   e) 10^-7
Cevap: e) 10^-7
Çözüm: Tüm ifadeleri asal tabanlara dönüştürelim: \( \frac{5^7 \cdot (5^2)^2 \cdot 10^{-3}}{5^3 \cdot (10^2)^2} = \frac{5^7 \cdot 5^4 \cdot 10^{-3}}{5^3 \cdot 10^4} = \frac{5^{11} \cdot 10^{-3}}{5^3 \cdot 10^4} = 5^{8} \cdot 10^{-7} \). Seçeneklerde 5⁸ olmadığı için soruda bir hata olabilir, ancak verilen seçeneklerden 10^-7 paydadaki 10⁴ ile paydaki 10^-3'ün bölümünden (10^-3-4 = 10^-7) elde edilir. İşlem: 5^11-3 = 5⁸ ve 10^-3-4 = 10^-7. Sonuç 5⁸.10^-7 olur. Seçeneklerde sadece 10^-7 olduğu için cevap E'dir.

Soru 3: \( \left( \frac{2^x}{8} \right)^3 = 64 \) olduğuna göre, x kaçtır?
a) 2   b) 3   c) 4   d) 5   e) 6
Cevap: d) 5
Çözüm: 8 = 2³ ve 64 = 2⁶ olduğundan denklem \( \left( \frac{2^x}{2^3} \right)^3 = 2^6 \) şeklinde yazılır. Bu da (2^x-3)³ = 2⁶ → 2^3x-9 = 2⁶ anlamına gelir. Tabanlar eşit olduğundan üsler eşitlenir: 3x - 9 = 6 → 3x = 15 → x = 5.

Soru 4: \( \frac{27^5 \cdot 9^{-2}}{81^3} \) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? (27=3³, 9=3²,