Üçgende Dış Açıortay Teoremi Nedir?

Question

Bu teoremi anlamakta biraz zorlanıyorum. Dış açıortayın, bir kenarın uzantısını hangi oranda böldüğünü karıştırıyorum. İç açıortayla arasındaki farkı netleştirmek istiyorum.

Answer 1

Üçgende Dış Açıortay Teoremi

Bir üçgende, bir köşeden çıkan dış açıortay, bu açının karşısındaki kenarın uzantısını belirli bir oranda böler. Bu oranı ifade eden kurala Dış Açıortay Teoremi denir.

Teoremin İfadesi

Bir ABC üçgeninde [AD, A köşesine ait dış açıortay olsun. Bu dış açıortay, [BC] kenarının uzantısını D noktasında kessin. Bu durumda aşağıdaki oran geçerlidir:

\( \dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC} \)

Yani, dış açıortayın kenar uzantısını kestiği noktanın, üçgenin köşelerine olan uzaklıkları oranı, bu köşelere ait kenar uzunlukları oranına eşittir.

Hatırlatma ve Önemli Noktalar

• Dış açıortay, bir köşedeki dış açıyı iki eşit parçaya bölen doğrudur.
• D noktası her zaman [BC] kenarının uzantısı üzerindedir, kenarın üzerinde değildir.
• Bu teorem, kenar uzunlukları bilindiğinde dış açıortayın kenar uzantısını kestiği noktanın konumunu bulmamızı sağlar.
• İç Açıortay Teoremi'nde (\( \dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC} \)) formülü aynı görünür, ancak D noktasının yeri farklıdır. İç açıortayda D noktası [BC] kenarının üzerinde, dış açıortayda ise uzantısında yer alır.

Örnek Uygulama

Kenar uzunlukları AB = 6 cm, AC = 4 cm ve BC = 5 cm olan bir ABC üçgeninde, A köşesinden çıkan dış açıortay [BC]'nin uzantısını D noktasında kesmektedir. |BD|'yi bulalım.

Teoremi uygularsak:

\( \dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} \)

Buradan, \( BD = \dfrac{3}{2} \cdot DC \) yazabiliriz.

D noktası [BC]'nin uzantısında olduğu için, |BD| = |BC| + |CD| = 5 + |CD| şeklinde bir bağıntı vardır.

Denklemleri birleştirelim:

\( 5 + DC = \dfrac{3}{2} \cdot DC \)

\( 5 = \dfrac{3}{2}DC - DC \)

\( 5 = \dfrac{1}{2}DC \)

\( DC = 10 \) cm bulunur.

Son olarak, \( BD = BC + CD = 5 + 10 = 15 \) cm olarak bulunur.

Answer 2

Üçgende Dış Açıortay Teoremi Çözümlü Test Soruları

Soru 1: ABC üçgeninde [AD] dış açıortay olmak üzere, |AB| = 8 cm, |AC| = 12 cm ve |BC| = 10 cm'dir. B, C ve D noktaları doğrusal olduğuna göre, |CD| kaç cm'dir?
a) 15   b) 18   c) 20   d) 24   e) 30
Cevap: e) 30
Çözüm: Dış açıortay teoremine göre: |BD|/|DC| = |AB|/|AC| ⇒ (10 + x)/x = 8/12 ⇒ (10 + x)/x = 2/3 ⇒ 30 + 3x = 2x ⇒ x = 30 cm

Soru 2: ABC üçgeninde [AD] dış açıortay, |AB| = 6 cm, |AC| = 9 cm ve |BD| = 4 cm'dir. B, C ve D noktaları doğrusal olduğuna göre, |BC| kaç cm'dir?
a) 2   b) 3   c) 4   d) 5   e) 6
Cevap: a) 2
Çözüm: Dış açıortay teoremi: |BD|/|DC| = |AB|/|AC| ⇒ 4/|DC| = 6/9 ⇒ 4/|DC| = 2/3 ⇒ |DC| = 6 cm. |BC| = |DC| - |BD| = 6 - 4 = 2 cm

Soru 3: ABC üçgeninde [AD] dış açıortaydır. |AB| = 10 cm, |AC| = 15 cm ve |BC| = 8 cm'dir. B, C ve D noktaları doğrusal olduğuna göre, |BD| kaç cm'dir?
a) 12   b) 14   c) 16   d) 18   e) 20
Cevap: c) 16
Çözüm: Dış açıortay teoremi: |BD|/|DC| = |AB|/|AC| = 10/15 = 2/3. |BD| = 2k, |DC| = 3k olsun. |DC| = |BD| + |BC| ⇒ 3k = 2k + 8 ⇒ k = 8. |BD| = 2k = 16 cm