9. Sınıf Ayrık Olmayan Olayların Olasılık Hesabı Nedir?

Question

Ayrık olmayan olayların ne olduğunu ve nasıl hesaplandığını tam olarak anlayamadım. Özellikle kesişimlerini bulmakta zorlanıyorum. Örnekler üzerinden nasıl çözüldüğünü görmek istiyorum.

Answer 1

Ayrık Olmayan Olayların Olasılık Hesabı

Olasılık hesaplarında, ayrık olmayan olaylar, aynı anda gerçekleşebilen (kesişimleri boş küme olmayan) olaylardır. Bu tür olayların olasılıklarını hesaplarken, toplam olasılık kuralına ve kesişim olasılığına dikkat etmek gerekir.

Ayrık Olmayan Olayların Tanımı

İki olay, \( A \) ve \( B \), eğer \( A \cap B \neq \emptyset \) ise ayrık olmayan olaylar olarak adlandırılır. Yani, bu iki olay aynı anda gerçekleşebilir.

Olasılık Formülü

Ayrık olmayan iki olayın birleşiminin olasılığı şu formülle hesaplanır:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

Burada:

• \( P(A) \): A olayının olasılığı,
• \( P(B) \): B olayının olasılığı,
• \( P(A \cap B) \): A ve B'nin aynı anda gerçekleşme olasılığıdır.

Örnek Problem

Bir zar atıldığında tek sayı gelmesi (A olayı) veya 3'ten büyük sayı gelmesi (B olayı) olasılığını hesaplayalım.

• \( A = \{1, 3, 5\} \) → \( P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
• \( B = \{4, 5, 6\} \) → \( P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
• \( A \cap B = \{5\} \) → \( P(A \cap B) = \frac{1}{6} \)

Formülü uygularsak:

\[ P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \]

Dikkat Edilmesi Gerekenler

• Ayrık olmayan olaylarda kesişim olasılığı çıkarılmazsa, aynı sonuç iki kez sayılır.
• Formül, ikiden fazla olay için genişletilebilir.

Answer 2

9. Sınıf Ayrık Olmayan Olayların Olasılık Hesabı Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir sınıfta 18 öğrenci futbol, 15 öğrenci basketbol oynamaktadır. 7 öğrenci ise her iki sporu da yapmaktadır. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin yalnızca futbol oynama olasılığı kaçtır?
a) \( \frac{11}{26} \)
b) \( \frac{7}{26} \)
c) \( \frac{15}{26} \)
d) \( \frac{18}{26} \)
e) \( \frac{4}{13} \)
Cevap: a) \( \frac{11}{26} \)
Çözüm: Yalnızca futbol oynayanlar = Futbol oynayanlar - Her ikisini oynayanlar = 18 - 7 = 11. Toplam öğrenci sayısı (18 + 15 - 7) = 26. Olasılık = \( \frac{11}{26} \).

Soru 2: Bir kutuda 5 kırmızı, 4 mavi ve 3 yeşil top vardır. Çekilen topun kırmızı veya yeşil olma olasılığı nedir? (Toplar ayrık olmayan durumdadır.)
a) \( \frac{2}{3} \)
b) \( \frac{5}{12} \)
c) \( \frac{1}{3} \)
d) \( \frac{7}{12} \)
e) \( \frac{3}{4} \)
Cevap: a) \( \frac{2}{3} \)
Çözüm: Kırmızı veya yeşil topların sayısı = 5 + 3 = 8. Toplam top sayısı = 12. Olasılık = \( \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \).