9. Sınıf Dik Üçgende Pisagor ve Öklid Teoremleri Nedir? Örnekler

Question

Dik üçgende kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi bulmak için bu teoremleri kullanıyoruz ama hangisini nerede kullanacağımı karıştırıyorum. Özellikle öklid bağıntılarının formüllerini ve hangi durumda hangi formülün işe yaradığını öğrenmek istiyorum. Basit örneklerle anlatılırsa çok daha iyi anlayacağım.

Answer 1

Dik Üçgende Pisagor ve Öklid Teoremleri

Bir dik üçgen, bir açısı 90 derece olan üçgendir. Dik açının karşısındaki kenara hipotenüs, dik açıyı oluşturan kenarlara ise dik kenarlar denir. Bu tür üçgenlerle çalışırken en sık kullandığımız iki önemli kural vardır: Pisagor Teoremi ve Öklid Teoremleri.

1. Pisagor Teoremi

Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir.

Eğer dik kenarların uzunlukları a ve b, hipotenüsün uzunluğu c ise teorem şu şekilde yazılır:

\( a^2 + b^2 = c^2 \)

Örnek 1: Dik kenarları 6 cm ve 8 cm olan bir üçgenin hipotenüsünü bulalım.

• a = 6, b = 8
• \( c^2 = 6^2 + 8^2 \)
• \( c^2 = 36 + 64 \)
• \( c^2 = 100 \)
• \( c = \sqrt{100} \)
• \( c = 10 \) cm

Örnek 2: Hipotenüsü 13 cm, bir dik kenarı 5 cm olan üçgenin diğer dik kenarını bulalım.

• c = 13, a = 5
• \( 5^2 + b^2 = 13^2 \)
• \( 25 + b^2 = 169 \)
• \( b^2 = 169 - 25 \)
• \( b^2 = 144 \)
• \( b = \sqrt{144} \)
• \( b = 12 \) cm

2. Öklid Teoremleri

Öklid, dik üçgenlerle ilgili iki önemli teorem bulmuştur. Bu teoremler, dik üçgende hipotenüse çizilen yükseklik (h) ile kenarlar arasındaki ilişkiyi gösterir.

a) Öklid'in Yükseklik Teoremi: Hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipotenüsün ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.

\( h^2 = p \cdot k \)

b) Öklid'in Dik Kenar Teoremi: Bir dik kenarın uzunluğunun karesi, hipotenüsün o dik kenara komşu parçası ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir.

\( a^2 = p \cdot c \)
\( b^2 = k \cdot c \)

(Yukarıdaki şekilde; hipotenüs "c", yüksekliğin hipotenüsü ayırdığı parçalar "p" ve "k", yükseklik ise "h" ile gösterilir.)

Örnek 3 (Yükseklik Teoremi): Bir dik üçgende hipotenüsü yüksekliğin ayırdığı parçalar 4 cm ve 9 cm ise yüksekliği (h) bulalım.

• p = 4, k = 9
• \( h^2 = p \cdot k \)
• \( h^2 = 4 \cdot 9 \)
• \( h^2 = 36 \)
• \( h = \sqrt{36} \)
• \( h = 6 \) cm

Örnek 4 (Dik Kenar Teoremi): Hipotenüs uzunluğu 25 cm olan bir dik üçgende, bir dik kenarın hipotenüste ayırdığı parça 4 cm ise o dik kenarın uzunluğunu (a) bulalım.

• c = 25

Answer 2

9. Sınıf Dik Üçgende Pisagor ve Öklid Teoremleri Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir dik üçgende dik kenarların uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir?
a) 9 cm
b) 10 cm
c) 12 cm
d) 14 cm
e) 15 cm
Cevap: b) 10 cm
Çözüm: Pisagor teoremine göre, hipotenüsün karesi dik kenarların kareleri toplamına eşittir: \( h^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \). Buradan \( h = \sqrt{100} = 10 \) cm bulunur.

Soru 2: Hipotenüs uzunluğu 13 cm ve bir dik kenarı 5 cm olan bir üçgende, hipotenüse ait yükseklik (h) kaç cm'dir?
a) 60/13 cm
b) 12 cm
c) 5 cm
d) 13/5 cm
e) 6 cm
Cevap: a) 60/13 cm
Çözüm: Öncelikle diğer dik kenar Pisagor teoremi ile bulunur: \( a^2 + 5^2 = 13^2 \) → \( a^2 + 25 = 169 \) → \( a^2 = 144 \) → \( a = 12 \) cm. Öklid teoremlerinden, hipotenüse ait yükseklik formülü \( h = \frac{a \cdot b}{c} \)'dir. Burada \( h = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13} \) cm olur.

Soru 3: Aşağıdaki şekilde verilen ABC dik üçgeninde, [AB] ⊥ [AC] ve [AD] ⊥ [BC]'dir. |BD| = 4 cm ve |DC| = 9 cm ise, |AD| kaç cm'dir?
a) 6 cm
b) \( \sqrt{13} \) cm
c) \( 2\sqrt{13} \) cm
d) 13 cm
e) 36 cm
Cevap: a) 6 cm
Çözüm: Bu, Öklid'in yükseklik teoreminin doğrudan bir uygulamasıdır. Teorem, hipotenüse indirilen yüksekliğin karesinin, bu yüksekliğin ayırdığı parçaların çarpımına eşit olduğunu söyler: \( h^2 = p \cdot k \). Verilenlere göre \( p = 4 \) cm, \( k = 9 \) cm'dir. O halde \( h^2 = 4 \cdot 9 = 36 \) ve \( h = \sqrt{36} = 6 \) cm bulunur.