9. Sınıf Fonksiyonun Maksimum ve Minimum Noktası ve Değeri Nedir?

Question

Fonksiyonların maksimum ve minimum noktalarını anlamakta zorlanıyorum. Özellikle grafiği verildiğinde bu noktaları nasıl belirleyeceğimi tam kavrayamadım. Ayrıca maksimum değer ile maksimum nokta arasındaki farkı da karıştırıyorum.

Answer 1

Fonksiyonun Maksimum ve Minimum Noktası ve Değeri

Bir fonksiyonun maksimum ve minimum noktaları, fonksiyonun belirli bir aralıkta alabileceği en büyük ve en küçük değerleri ifade eder. Bu noktalar, fonksiyonun grafiğinde tepe veya çukur noktaları olarak görülebilir.

1. Maksimum ve Minimum Kavramları

• Maksimum Nokta: Fonksiyonun bir aralıkta alabileceği en büyük değerin olduğu noktadır.
• Minimum Nokta: Fonksiyonun bir aralıkta alabileceği en küçük değerin olduğu noktadır.

2. Maksimum ve Minimum Değerler Nasıl Bulunur?

Bir fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarını bulmak için şu adımlar izlenebilir:

• 1. Adım: Fonksiyonun türevini al (\( f'(x) \)).
• 2. Adım: Türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bul (\( f'(x) = 0 \)).
• 3. Adım: Kritik noktaların maksimum veya minimum olup olmadığını kontrol et (ikinci türev testi veya işaret tablosu kullanılabilir).

3. Örnek

\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) fonksiyonunun maksimum/minimum noktasını bulalım:

• Türev: \( f'(x) = 2x - 4 \)
• Kritik Nokta: \( 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2 \)
• İkinci Türev: \( f''(x) = 2 \) (Pozitif olduğu için \( x = 2 \) noktası bir minimum noktadır.)
• Minimum Değer: \( f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = -1 \)

4. Uyarılar

• Her kritik nokta maksimum veya minimum olmayabilir (örneğin, dönüm noktaları).
• Fonksiyonun tanım kümesi ve sürekliliği kontrol edilmelidir.

Answer 2

9. Sınıf Fonksiyonun Maksimum ve Minimum Noktası ve Değeri Çözümlü Test Soruları

Soru 1: \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) fonksiyonunun maksimum değeri kaçtır?
a) 5   b) 7   c) 9   d) 11   e) 13
Cevap: c) 9
Çözüm: Parabolün tepe noktası \( r = -\frac{b}{2a} = 2 \) olup, \( f(2) = 9 \) maksimum değerdir (a = -1 < 0 olduğundan).

Soru 2: \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 \) fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsis değeri nedir?
a) 1   b) 2   c) 3   d) 4   e) 5
Cevap: c) 3
Çözüm: Türev alınıp \( f'(x) = 0 \) denklemi çözülür: \( 3x^2 - 12x + 9 = 0 \) → \( x = 1 \) (yerel maks.) ve \( x = 3 \) (yerel min.).

Soru 3: \( f(x) = \sqrt{4 - x^2} \) fonksiyonunun alabileceği en büyük değer kaçtır?
a) 1   b) 2   c) 3   d) 4   e) Yoktur
Cevap: b) 2
Çözüm: Köklü ifadenin tanımlı olması için \( 4 - x^2 \geq 0 \) → \( x \in [-2, 2] \). Maksimum değer \( x = 0 \) iken \( \sqrt{4} = 2 \) olur.