Gerçek Sayılarda Tanımlı Mutlak Değer Fonksiyonları
Mutlak değer fonksiyonu, bir gerçek sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder. Matematiksel olarak şu şekilde tanımlanır:
\[ |x| = \begin{cases}
x & \text{eğer } x \geq 0 \\
-x & \text{eğer } x < 0
\end{cases} \]
Mutlak Değer Fonksiyonunun Nitel Özellikleri
- Negatif Olmayan Değer: Her \( x \in \mathbb{R} \) için \( |x| \geq 0 \)'dır.
- Simetri: \( |x| = |-x| \) eşitliği her zaman sağlanır.
- Üçgen Eşitsizliği: Her \( x, y \in \mathbb{R} \) için \( |x + y| \leq |x| + |y| \) geçerlidir.
- Çarpım Özelliği: \( |x \cdot y| = |x| \cdot |y| \) şeklinde ifade edilir.
- Bölüm Özelliği: \( y \neq 0 \) iken \( \left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|} \) olur.
Mutlak Değer Fonksiyonunun Grafiği
Mutlak değer fonksiyonunun grafiği "V" şeklindedir ve orijin noktasından (0,0) geçer. Fonksiyon:
- \( x \geq 0 \) için \( y = x \) doğrusuyla çakışır.
- \( x < 0 \) için \( y = -x \) doğrusuyla çakışır.
Örnekler
Örnek 1: \( |5| = 5 \) ve \( |-3| = 3 \)
Örnek 2: \( |2x - 4| = 6 \) denkleminin çözümü:
- \( 2x - 4 = 6 \) → \( x = 5 \)
- \( 2x - 4 = -6 \) → \( x = -1 \)
