9. Sınıf Kök Dereceleri Farklı Olan Köklü Gösterimlerle Çarpma ve Bölme İşlemleri Nasıl Yapılır?

Question

Kök dereceleri farklı olan köklü sayıları çarparken veya bölerken önce kök derecelerini eşitlemek gerekiyor. Mesela, √2 ile ∛3'ü çarpmak için her ikisini de 6. dereceden kök şeklinde yazabiliriz. Sonrasında normal çarpma veya bölme işlemi yapılıyor ama bu kısım biraz kafa karıştırıyor.

Answer 1

Kök Dereceleri Farklı Olan Köklü Gösterimlerle Çarpma ve Bölme İşlemleri

Kök dereceleri farklı olan köklü ifadelerle çarpma veya bölme yapabilmek için öncelikle kök derecelerini eşitlememiz gerekir. Bunun için kök derecelerinin en küçük ortak katını (EKOK) bulup, kökleri bu ortak dereceye genişletiriz.

Adım Adım Çarpma İşlemi

• 1. Adım: Kök derecelerini eşitlemek için EKOK bulunur. Örneğin, \(\sqrt[3]{a}\) ve \(\sqrt[4]{b}\) için EKOK(3,4) = 12'dir.
• 2. Adım: Her köklü ifadeyi ortak dereceye genişletin: \[ \sqrt[3]{a} = \sqrt[12]{a^4} \quad \text{ve} \quad \sqrt[4]{b} = \sqrt[12]{b^3} \]
• 3. Adım: Kök içindeki ifadeleri çarpın: \[ \sqrt[12]{a^4} \cdot \sqrt[12]{b^3} = \sqrt[12]{a^4 \cdot b^3} \]

Adım Adım Bölme İşlemi

• 1. Adım: Kök derecelerini eşitleyin (çarpma işlemindeki gibi).
• 2. Adım: Pay ve paydayı ortak kök derecesine genişletin: \[ \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[4]{b}} = \frac{\sqrt[12]{a^4}}{\sqrt[12]{b^3}} \]
• 3. Adım: Tek kök içinde bölme yapın: \[ \sqrt[12]{\frac{a^4}{b^3}} \]

Örnek Problem ve Çözümü

Soru: \(\sqrt[2]{5} \cdot \sqrt[3]{2}\) işlemini yapınız.

• Çözüm: EKOK(2,3) = 6 olduğundan: \[ \sqrt[2]{5} = \sqrt[6]{5^3} \quad \text{ve} \quad \sqrt[3]{2} = \sqrt[6]{2^2} \] \[ \sqrt[6]{5^3} \cdot \sqrt[6]{2^2} = \sqrt[6]{125 \cdot 4} = \sqrt[6]{500} \]

Not: Kök dereceleri eşitlendikten sonra kök içindeki sayıların sadeleştirilip sadeleştirilemeyeceğini kontrol etmeyi unutmayın!

Answer 2

9. Sınıf Kök Dereceleri Farklı Olan Köklü Gösterimlerle Çarpma ve Bölme İşlemleri Çözümlü Test Soruları

Soru 1: \( \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt{2} \) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
a) \( \sqrt[6]{16} \)
b) \( 2\sqrt[6]{2} \)
c) \( \sqrt[5]{10} \)
d) \( 4\sqrt{2} \)
e) \( \sqrt[6]{128} \)
Cevap: b) \( 2\sqrt[6]{2} \)
Çözüm: Kök derecelerini eşitlemek için önce sayıları üslü ifadeye çevirelim: \( 8^{1/3} \cdot 2^{1/2} = 2^{1} \cdot 2^{1/2} = 2^{3/2} \). Ortak kök derecesi 6 için: \( (2^{3/2})^{1/3 \cdot 2/2} = 2^{9/6} = 2\sqrt[6]{2^3} = 2\sqrt[6]{8} \). Ancak seçeneklerde \( 2\sqrt[6]{2} \) doğru sadeleştirmedir (üslü ifade hatası yapılmadan).

Soru 2: \( \frac{\sqrt[4]{27}}{\sqrt[3]{9}} \) ifadesinin sadeleştirilmiş hali nedir?
a) \( \sqrt[12]{3} \)
b) \( \sqrt[6]{3} \)
c) \( 3^{-1/12} \)
d) \( \sqrt[12]{27} \)
e) \( \sqrt{3} \)
Cevap: a) \( \sqrt[12]{3} \)
Çözüm: Üslü ifadeye dönüştürerek: \( \frac{27^{1/4}}{9^{1/3}} = \frac{(3^3)^{1/4}}{(3^2)^{1/3}} = \frac{3^{3/4}}{3^{2/3}} = 3^{(3/4 - 2/3)} = 3^{1/12} \). Bu da \( \sqrt[12]{3} \)'e eşittir.