🧮 Permütasyon Nedir?
Permütasyon, bir grup nesneyi belirli bir sıraya göre dizmek anlamına gelir. Yani, elimizdeki elemanları kaç farklı şekilde sıralayabileceğimizi bulmaya çalışırız. Örneğin, "ABC" harflerini düşünelim. Bu harfleri "ABC", "ACB", "BAC", "BCA", "CAB", "CBA" şeklinde 6 farklı şekilde sıralayabiliriz. İşte permütasyon tam olarak bu sıralama işlemlerini ifade eder.
🔢 Faktöriyel Kavramı
Permütasyonu anlamak için faktöriyel kavramını bilmek önemlidir. Bir sayının faktöriyeli, o sayıdan 1'e kadar olan tüm pozitif tam sayıların çarpımıdır. Örneğin, 5'in faktöriyeli (5!) şu şekilde hesaplanır:
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
Faktöriyel, permütasyon hesaplamalarında sıkça kullanılır.
📝 Permütasyon Formülü
n tane farklı nesnenin r'li permütasyonu (yani n nesneden r tanesini seçip sıralamak) şu formülle hesaplanır:
$P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$
Burada:
* n: Toplam nesne sayısı
* r: Seçilecek nesne sayısı
* !: Faktöriyel sembolü
Örneğin, 5 farklı kitaptan 3 tanesini bir rafa kaç farklı şekilde dizebileceğimizi bulmak için $P(5, 3)$'ü hesaplarız:
$P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$
Yani, 5 farklı kitaptan 3 tanesini 60 farklı şekilde dizebiliriz.
❓ Permütasyon Soruları ve Çözümleri
Şimdi de permütasyon konusunu daha iyi anlamak için birkaç soru çözelim.
✏️ Soru 1
5 farklı renkteki boya kalemi arasından 2 tanesi seçilerek kaç farklı sıralama yapılabilir?
Çözüm:
Bu soruda $n = 5$ (toplam kalem sayısı) ve $r = 2$ (seçilecek kalem sayısı). Formülü uygulayalım:
$P(5, 2) = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$
Yani, 5 farklı renkteki boya kaleminden 2 tanesi 20 farklı şekilde sıralanabilir.
✏️ Soru 2
"MATEMATİK" kelimesindeki harfler kullanılarak anlamlı veya anlamsız 9 harfli kaç farklı kelime oluşturulabilir?
Çözüm:
Bu soruda dikkat etmemiz gereken şey, tekrar eden harflerin olması. "MATEMATİK" kelimesinde 2 tane "M", 2 tane "A" ve 1'er tane "T", "E", "İ", "K" harfleri var. Tekrarlı permütasyon formülünü kullanmalıyız:
$\frac{9!}{2! \times 2!}$
Hesaplayalım:
$\frac{9!}{2! \times 2!} = \frac{362880}{2 \times 2} = \frac{362880}{4} = 90720$
Yani, "MATEMATİK" kelimesindeki harflerle 90720 farklı kelime oluşturulabilir.
✏️ Soru 3
Bir yarışta 7 atlet yarışıyor. İlk 3 derece kaç farklı şekilde oluşabilir?
Çözüm:
Bu soruda $n = 7$ (toplam atlet sayısı) ve $r = 3$ (dereceye girecek atlet sayısı). Formülü uygulayalım:
$P(7, 3) = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!} = \frac{5040}{24} = 210$
Yani, yarışta ilk 3 derece 210 farklı şekilde oluşabilir.
🔑 Permütasyon İpuçları
* Soruyu dikkatlice okuyun ve neyin sıralanması gerektiğini belirleyin.
* Tekrarlı elemanlar varsa, tekrarlı permütasyon formülünü kullanmayı unutmayın.
* Faktöriyel hesaplamalarında dikkatli olun.
* Gerekirse, küçük sayılarla denemeler yaparak mantığı anlamaya çalışın.
📚 Ek Kaynaklar
Permütasyon konusunu daha iyi anlamak için aşağıdaki kaynaklara göz atabilirsiniz:
* MEB Ders Kitapları
* Online Matematik Dersleri (Khan Academy, vb.)
* Çeşitli Matematik Soru Bankaları
Umarım bu konu anlatımı ve soru çözümleri permütasyon konusunu anlamanıza yardımcı olmuştur. Başarılar!
