📐 Vektör Uzayı Nedir?
Vektör uzayı, matematikteki en temel kavramlardan biridir. Temel olarak, vektör adı verilen nesnelerin toplandığı ve sayılarla çarpılabildiği bir kümedir. Bu işlemler belirli kurallara uyar ve bu kurallar vektör uzayının yapısını tanımlar.
- ➕ Toplama İşlemi: Vektör uzayındaki herhangi iki vektörü topladığımızda, sonuç yine aynı vektör uzayında kalmalıdır.
- ✖️ Skalerle Çarpma İşlemi: Bir vektörü bir sayı (skaler) ile çarptığımızda, sonuç yine aynı vektör uzayında kalmalıdır.
🎯 Vektör Uzayının Temel Özellikleri
Vektör uzayını vektör uzayı yapan bazı temel özellikler vardır. Bu özellikler, vektörlerle nasıl işlem yapabileceğimizi ve vektör uzayının nasıl davrandığını belirler.
🔑 Kapalılık
Vektör uzayındaki herhangi iki vektörün toplamı veya bir vektörün bir skalerle çarpımı yine aynı vektör uzayında olmalıdır. Yani, vektör uzayı toplama ve skalerle çarpma işlemlerine göre "kapalı" olmalıdır.
🤝 Değişme Özelliği
Vektörlerin toplamı sıraya bağlı değildir. Yani, $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$ olmalıdır.
📦 Birleşme Özelliği
Vektörlerin toplamında parantezlerin yeri önemli değildir. Yani, $(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$ olmalıdır.
🧮 Etkisiz Eleman (Sıfır Vektörü)
Vektör uzayında öyle bir $\vec{0}$ vektörü vardır ki, herhangi bir vektörle toplandığında vektörü değiştirmez. Yani, $\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$ olmalıdır.
عكس Ters Eleman
Her vektör için, o vektörü sıfır vektörüne götüren bir ters vektör vardır. Yani, her $\vec{u}$ için öyle bir $-\vec{u}$ vardır ki, $\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}$ olmalıdır.
🔢 Skalerle Çarpmanın Dağılma Özelliği
Skalerle çarpma, vektör toplamı üzerine dağılır. Yani, $c(\vec{u} + \vec{v}) = c\vec{u} + c\vec{v}$ olmalıdır (burada $c$ bir skalerdir).
🔢 Skalerlerin Dağılma Özelliği
Vektör, skaler toplamı üzerine dağılır. Yani, $(c + d)\vec{u} = c\vec{u} + d\vec{u}$ olmalıdır (burada $c$ ve $d$ skalerlerdir).
1️⃣ Birim Eleman
1 skalerini bir vektörle çarptığımızda vektör değişmez. Yani, $1\vec{u} = \vec{u}$ olmalıdır.
✍️ Çözümlü Örnekler
Şimdi de öğrendiklerimizi pekiştirmek için birkaç örnek soru çözelim.
Örnek 1: Aşağıdakilerden hangisi $\mathbb{R}^2$ uzayında bir vektör uzayıdır?
A) $\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x \geq 0, y \geq 0\}$
B) $\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x + y = 1\}$
C) $\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq 1\}$
D) $\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : y = 2x\}$
E) $\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : xy = 0\}$
Çözüm:
*
A şıkkı: Toplama işlemine göre kapalı değildir. Örneğin, $(1, 1)$ bu kümededir, ancak $(-1, -1)$ bu kümede değildir.
*
B şıkkı: Sıfır vektörünü içermez.
*
C şıkkı: Skalerle çarpma işlemine göre kapalı değildir. Örneğin, $(1, 0)$ bu kümededir, ancak $2(1, 0) = (2, 0)$ bu kümede değildir.
*
D şıkkı: Vektör uzayının tüm özelliklerini sağlar. Toplama ve skalerle çarpma işlemlerine göre kapalıdır. Sıfır vektörünü içerir.
*
E şıkkı: Toplama işlemine göre kapalı değildir. Örneğin, $(1, 0)$ ve $(0, 1)$ bu kümededir, ancak $(1, 0) + (0, 1) = (1, 1)$ bu kümede değildir.
Doğru cevap
D şıkkıdır.
Örnek 2: $V = \{(a, b, c) \in \mathbb{R}^3 : a + b + c = 0\}$ kümesi $\mathbb{R}^3$ vektör uzayının bir alt uzayı mıdır?
Çözüm:
Bir kümenin bir vektör uzayının alt uzayı olabilmesi için aşağıdaki üç koşulu sağlaması gerekir:
1. Sıfır vektörünü içermelidir.
2. Toplama işlemine göre kapalı olmalıdır.
3. Skalerle çarpma işlemine göre kapalı olmalıdır.
*
Sıfır Vektörü: $(0, 0, 0)$ vektörü $V$ kümesindedir çünkü $0 + 0 + 0 = 0$'dır.
*
Toplama: $(a_1, b_1, c_1)$ ve $(a_2, b_2, c_2)$ vektörleri $V$ kümesinde ise, $a_1 + b_1 + c_1 = 0$ ve $a_2 + b_2 + c_2 = 0$'dır. Bu durumda, $(a_1 + a_2, b_1 + b_2, c_1 + c_2)$ vektörü de $V$ kümesindedir çünkü $(a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) + (c_1 + c_2) = (a_1 + b_1 + c_1) + (a_2 + b_2 + c_2) = 0 + 0 = 0$'dır.
*
Skalerle Çarpma: $(a, b, c)$ vektörü $V$ kümesinde ise, $a + b + c = 0$'dır. Bu durumda, $k(a, b, c) = (ka, kb, kc)$ vektörü de $V$ kümesindedir çünkü $ka + kb + kc = k(a + b + c) = k(0) = 0$'dır.
Bu üç koşul da sağlandığı için $V$ kümesi $\mathbb{R}^3$ vektör uzayının bir alt uzayıdır.
