🧮 Parabolün Tepe Noktası Nedir?
Parabol, ikinci dereceden bir denklemin grafiğidir. Bu grafik, U şeklinde bir eğridir. Parabolün en önemli noktalarından biri de tepe noktasıdır. Tepe noktası, parabolün ya en yüksek (maksimum) ya da en alçak (minimum) noktasıdır.
📍 Tepe Noktası Bulma Yöntemleri
Parabolün tepe noktasını bulmak için birkaç farklı yöntem bulunmaktadır. İşte en yaygın kullanılan yöntemler:
📏 1. Türev Yöntemi
Eğer fonksiyonun türevini almayı biliyorsanız, bu yöntem oldukça etkilidir. Parabolün denklemi $f(x) = ax^2 + bx + c$ şeklinde ise, tepe noktasının x koordinatını bulmak için:
- 🧪 Fonksiyonun türevini alın: $f'(x) = 2ax + b$
- 0️⃣ Türevi sıfıra eşitleyin: $2ax + b = 0$
- 🧮 x'i çözün: $x = -\frac{b}{2a}$
Bulduğunuz bu x değeri, tepe noktasının x koordinatıdır. Tepe noktasının y koordinatını bulmak için, bu x değerini orijinal denklemde yerine koyun: $f(-\frac{b}{2a})$.
📉 2. Tam Kareye Tamamlama Yöntemi
Bu yöntem, denklemi tam kare bir ifadeye dönüştürerek tepe noktasını bulmayı sağlar. Parabolün denklemi $f(x) = ax^2 + bx + c$ şeklinde ise:
- 🧩 Denklemi $a(x-h)^2 + k$ formuna getirin. Burada (h, k) tepe noktasının koordinatlarıdır.
- ✍️ Bu forma getirmek için tam kareye tamamlama adımlarını uygulayın.
Örnek:
$f(x) = x^2 + 4x + 3$ denklemini ele alalım.
- ➕ $x^2 + 4x$ ifadesini tam kare yapmak için $(x+2)^2$ elde ederiz. Ancak bu ifade $x^2 + 4x + 4$ demektir, yani 1 fazlalık var.
- ➖ Bu yüzden denklemi şöyle yazarız: $f(x) = (x+2)^2 - 1$
Bu durumda tepe noktası (-2, -1) olur.
➗ 3. Formül Yöntemi
En basit ve hızlı yöntemlerden biridir. Parabolün denklemi $f(x) = ax^2 + bx + c$ şeklinde ise, tepe noktasının koordinatları şu formüllerle bulunur:
- ❌ Tepe noktasının x koordinatı: $x = -\frac{b}{2a}$
- ➕ Tepe noktasının y koordinatı: $y = f(-\frac{b}{2a}) = c - \frac{b^2}{4a}$
Bu formülleri kullanarak doğrudan tepe noktasının koordinatlarını bulabilirsiniz.
practice Pratik Örnekler
❓ Soru 1:
$f(x) = 2x^2 - 8x + 5$ parabolünün tepe noktasını bulun.
- ✔️ Çözüm: Formül yöntemini kullanalım:
- ❌ $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = 2$
- ➕ $y = f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 5 = 8 - 16 + 5 = -3$
- 📍 Tepe noktası: (2, -3)
❓ Soru 2:
$f(x) = -x^2 + 6x - 4$ parabolünün tepe noktasını bulun.
- ✔️ Çözüm: Formül yöntemini kullanalım:
- ❌ $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$
- ➕ $y = f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 4 = -9 + 18 - 4 = 5$
- 📍 Tepe noktası: (3, 5)
📝 Özet
- 📌 Parabolün tepe noktası, grafiğin en yüksek veya en alçak noktasıdır.
- 📐 Tepe noktasını bulmak için türev, tam kareye tamamlama veya formül yöntemlerini kullanabilirsiniz.
- practice Pratik yaparak bu yöntemleri daha iyi anlayabilirsiniz.
