Doğrusal Fonksiyonlar: Enflasyon ve Bütçe Hesaplamaları

Question

"Enflasyonun bütçeme etkisini hesaplamaya çalışıyorum ama doğrusal fonksiyonları nasıl uygulayacağımı tam kavrayamadım. Örneğin, fiyatlar her yıl %20 artarsa, 5 yıl sonra alım gücümün ne olacağını bulmak için hangi formülü kullanmalıyım? Grafik çizerken x eksenine yılları mı, fiyatları mı koyacağım konusunda da kafam karıştı."

Answer 1

Doğrusal Fonksiyonlar: Enflasyon ve Bütçe Hesaplamaları

Doğrusal fonksiyonlar, matematikte ve günlük hayatta sıkça karşılaşılan basit ancak güçlü modellerdir. Bu ders notunda, doğrusal fonksiyonların enflasyon ve bütçe hesaplamaları gibi ekonomik problemlerde nasıl kullanıldığını öğreneceğiz.

Doğrusal Fonksiyon Nedir?

Doğrusal fonksiyon, genel olarak şu şekilde ifade edilir:

\( f(x) = mx + b \)

• m: Eğim (değişim oranı)
• b: Başlangıç değeri (y-keseni)

Enflasyon Hesaplamalarında Doğrusal Model

Enflasyon, fiyatlar genel seviyesindeki artışı ifade eder. Doğrusal bir modelle enflasyonun zaman içindeki etkisini hesaplayabiliriz.

Örnek: Bir ürünün fiyatı yıllık %10 enflasyonla artıyorsa, x yıl sonraki fiyatı:

\( F(x) = F_0 \cdot (1 + 0.10x) \)

Burada \( F_0 \) başlangıç fiyatıdır.

Bütçe Planlamasında Doğrusal Fonksiyonlar

Bir hanehalkı veya şirket bütçesi, gelir ve giderlerin doğrusal fonksiyonlarla modellenebilir.

• Sabit giderler (kira, maaşlar): \( b \) değerine karşılık gelir.
• Değişken giderler (üretim maliyeti): \( mx \) ile ifade edilir.

Örnek: Aylık sabit gideri 5000 TL ve birim başına maliyeti 100 TL olan bir işletmenin toplam gideri:

\( G(x) = 100x + 5000 \)

Uygulama: Enflasyonun Bütçeye Etkisi

Enflasyonun bütçeye etkisini hesaplamak için doğrusal fonksiyonları birleştirebiliriz:

1. Enflasyon oranına göre gider fonksiyonunu güncelle.
2. Gelir artışını da modelleyerek denge noktasını bul.

Formül: \( Gelir(x) \geq Gider(x) \) olacak şekilde x değerini bulmak.

Answer 2

Doğrusal Fonksiyonlar: Enflasyon ve Bütçe Hesaplamaları Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir aile, aylık gelirinin %20'sini gıda harcamalarına ayırıyor. Ailenin aylık geliri \( G \) TL olduğuna göre, gıda harcamalarını veren doğrusal fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( f(G) = G + 20 \)
b) \( f(G) = 0.2G \)
c) \( f(G) = G - 20 \)
d) \( f(G) = \frac{G}{20} \)
e) \( f(G) = 20G \)
Cevap: b) \( f(G) = 0.2G \)
Çözüm: %20'si demek 0.2 ile çarpım anlamına gelir. Doğrusal fonksiyon \( f(G) = 0.2G \) şeklinde ifade edilir.

Soru 2: Bir ürünün fiyatı yıllık %15 enflasyon nedeniyle her yıl sabit artış göstermektedir. Ürünün başlangıç fiyatı 200 TL olduğuna göre, 3 yıl sonraki fiyatını veren doğrusal fonksiyon ve sonuç hangisidir?
a) \( f(x) = 200 + 15x \), 245 TL
b) \( f(x) = 200 + 30x \), 260 TL
c) \( f(x) = 200 \times 1.15x \), 690 TL
d) \( f(x) = 200 + 45 \), 245 TL
e) \( f(x) = 200 + 0.15x \), 200.45 TL
Cevap: a) \( f(x) = 200 + 15x \), 245 TL
Çözüm: Yıllık artış miktarı \( 200 \times 0.15 = 30 \) TL'dir. Doğrusal fonksiyon \( f(x) = 200 + 15x \) olur. 3 yıl için \( 200 + 45 = 245 \) TL.

Soru 3: Bir şirketin aylık sabit giderleri 5000 TL'dir. Ürettiği her birim ürün için 50 TL ek maliyet oluşmaktadır. Toplam maliyeti veren doğrusal fonksiyon ve 100 birimlik üretimdeki maliyet nedir?
a) \( C(x) = 5000 + 50x \), 10.000 TL
b) \( C(x) = 50x \), 5.000 TL
c) \( C(x) = 5000 - 50x \), 0 TL
d) \( C(x) = 5000x + 50 \), 500.050 TL
e) \( C(x) = 5050x \), 505.000 TL
Cevap: a) \( C(x) = 5000 + 50x \), 10.000 TL
Çözüm: Sabit gider + birim maliyet × adet şeklinde hesaplanır. \( C(100) = 5000 + 50 \times 100 = 10.000 \) TL.