Doğrusal Fonksiyonlar: Enflasyon ve Bütçe Hesaplamaları

Question

Doğrusal fonksiyonları enflasyon ve bütçe hesaplamalarında nasıl kullanabilirim? Örneğin, fiyat artışlarını tahmin ederken veya aylık harcamaları planlarken bu fonksiyonlar bana nasıl yardımcı olur? Formülleri uygularken hangi değişkenleri dikkate almalıyım?

Answer 1

Doğrusal Fonksiyonlar: Enflasyon ve Bütçe Hesaplamaları

Doğrusal fonksiyonlar, günlük hayatta ve ekonomide sıkça karşılaşılan matematiksel modellerdir. Bu ders notunda, doğrusal fonksiyonların enflasyon ve bütçe hesaplamalarında nasıl kullanıldığını öğreneceğiz.

Doğrusal Fonksiyon Nedir?

Doğrusal fonksiyon, genel olarak \( f(x) = mx + b \) şeklinde ifade edilir. Burada:

• \( m \): Eğim (fonksiyonun değişim hızı)
• \( b \): Y-keseni (başlangıç değeri)

Enflasyon Hesaplamalarında Doğrusal Fonksiyonlar

Enflasyon, fiyatlar genel seviyesindeki sürekli artışı ifade eder. Doğrusal fonksiyonlarla enflasyon hesaplaması yapılabilir. Örneğin:

• Bir ürünün fiyatı yıllık %10 enflasyonla artıyorsa, \( f(x) = 1.10x \) şeklinde modellenebilir.
• Başlangıç fiyatı 100 TL ise, 5 yıl sonraki fiyat: \( f(5) = 100 \times (1.10)^5 \) olur.

Bütçe Planlamasında Doğrusal Fonksiyonlar

Bütçe hesaplamalarında gelir ve giderlerin zamanla değişimi doğrusal fonksiyonlarla ifade edilebilir. Örneğin:

• Aylık sabit giderleriniz 2000 TL ve değişken giderleriniz aylık 500 TL ise, toplam gider fonksiyonu: \( G(x) = 500x + 2000 \) olur.
• Geliriniz aylık 3000 TL ise, denge noktası (\( G(x) = 3000 \)) hesaplanarak bütçe planlaması yapılabilir.

Örnek Uygulama

Bir ailenin aylık giderleri:

• Kira: 1500 TL (sabit)
• Market harcaması: Kişi başı 300 TL (4 kişilik aile için 1200 TL)
• Diğer giderler: 500 TL

Toplam gider fonksiyonu: \( G(x) = 300x + 2000 \) (x: kişi sayısı). Gelir 5000 TL ise, denklem çözülerek bütçe dengesi kontrol edilebilir.

Answer 2

Doğrusal Fonksiyonlar: Enflasyon ve Bütçe Hesaplamaları Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir aile, aylık gelirinin %20'sini gıda harcamalarına ayırıyor. Ailenin aylık geliri \( G \) TL olduğuna göre, gıda harcamalarını veren doğrusal fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?

a) \( f(G) = G + 20 \)
b) \( f(G) = 0.2G \)
c) \( f(G) = 20G \)
d) \( f(G) = G - 0.2 \)
e) \( f(G) = \frac{G}{20} \)

Cevap: b) \( f(G) = 0.2G \)
Çözüm: %20, ondalık olarak 0.2'dir. Gıda harcamaları gelirin %20'si olduğundan fonksiyon \( 0.2 \times G \) şeklinde ifade edilir.

Soru 2: Bir ürünün fiyatı yıllık %15 enflasyon nedeniyle her yıl sabit artış göstermektedir. Ürünün başlangıç fiyatı 200 TL olduğuna göre, 3 yıl sonraki fiyatını veren doğrusal fonksiyon ve sonuç hangisidir?

a) \( f(t) = 200 + 15t \), 245 TL
b) \( f(t) = 200 \times 1.15t \), 690 TL
c) \( f(t) = 200 + 30t \), 260 TL
d) \( f(t) = 200 \times (1 + 0.15t) \), 290 TL
e) \( f(t) = 200 \times 1.15^t \), 304.18 TL

Cevap: e) \( f(t) = 200 \times 1.15^t \), 304.18 TL
Çözüm: Yıllık bileşik enflasyon formülü \( P(1 + r)^t \) şeklindedir. \( r = 0.15 \), \( t = 3 \) ve başlangıç fiyatı 200 TL olduğundan \( 200 \times 1.15^3 \approx 304.18 \) TL bulunur.

Soru 3: Bir şirketin aylık sabit giderleri 5000 TL'dir. Her birim ürün başına 120 TL maliyet ve 200 TL satış fiyatı olduğuna göre, şirketin kârını veren doğrusal fonksiyon ve 100 birim satıştaki kârı nedir?

a) \( K(x) = 80x - 5000 \), 3000 TL
b) \( K(x) = 200x + 5000 \), 25000 TL
c) \( K(x) = 120x - 5000 \), 7000 TL
d) \( K(x) = 5000 - 80x \), -3000 TL
e) \( K(x) = 80x + 5000 \), 13000 TL

Cevap: a) \( K(x) = 80x - 5000 \), 3000 TL
Çözüm: Kâr = (Satış Fiyatı - Maliyet) × Adet - Sabit Gider. \( (200 - 120) \times 100 - 5000 = 80 \times 100 - 5000 = 3000 \) TL.