gerçek sayıların üslü ve köklü gösterimleri ile yapılan işlemler konu anlatımı

Question

Hocam, gerçek sayılarda üslü ve köklü sayılarla işlem yaparken kafam çok karışıyor. Özellikle farklı üsler ve kök dereceleri olduğunda ne yapacağımı şaşırıyorum. Bir de bu işlemleri yaparken nelere dikkat etmem gerektiğini tam olarak anlayamadım.

Answer 1

🧮 Gerçek Sayıların Üslü ve Köklü Gösterimleri ile Yapılan İşlemler: Ders Notu

Merhaba Sevgili Öğrencilerim,

Bugünkü dersimizde gerçek sayıların üslü ve köklü gösterimlerini inceleyeceğiz. Hazırsanız, başlayalım!

🔢 Üslü Sayılar

Bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımına üslü ifade denir.

• 🍎 Tanım: a bir gerçek sayı ve n bir pozitif tam sayı olmak üzere, aⁿ = a * a * a * ... * a (n tane) şeklinde ifade edilir. Burada a taban, n ise üs olarak adlandırılır.
• 💡 Örnekler:
  • 2³ = 2 * 2 * 2 = 8
  • 5² = 5 * 5 = 25
  • (-3)⁴ = (-3) * (-3) * (-3) * (-3) = 81
• ➕ Üslü Sayılarda İşlemler:
  • Çarpma: Tabanları aynı ise üsler toplanır: a^m * aⁿ = a^m+n
  • Bölme: Tabanları aynı ise üsler çıkarılır: a^m / aⁿ = a^m-n
  • Üssün Üssü: (a^m)ⁿ = a^m*n
  • Dağılma Özelliği: (a * b)ⁿ = aⁿ * bⁿ

➗ Köklü Sayılar

Bir sayının hangi sayının kuvveti olduğunu bulmaya yarayan ifadelere köklü sayılar denir.

• 🌱 Tanım: n bir pozitif tam sayı ve a bir gerçek sayı olmak üzere, ⁿ√a = b ise bⁿ = a'dır. Burada n kök derecesi, a ise kök içindeki sayıdır. Eğer n çift ise a ≥ 0 olmalıdır.
• ✨ Örnekler:
  • √25 = 5 (Çünkü 5² = 25)
  • ³√8 = 2 (Çünkü 2³ = 8)
  • ⁴√16 = 2 (Çünkü 2⁴ = 16)
• ➖ Köklü Sayılarda İşlemler:
  • Toplama/Çıkarma: Kök dereceleri ve kök içindeki sayılar aynı ise katsayılar toplanır veya çıkarılır. Örneğin: 2√3 + 5√3 = 7√3
  • Çarpma: Kök dereceleri aynı ise kök içindeki sayılar çarpılır. Örneğin: √2 * √3 = √6
  • Bölme: Kök dereceleri aynı ise kök içindeki sayılar bölünür. Örneğin: √6 / √2 = √3
  • Kök Dışına Çıkarma: Kök içindeki sayı, bir sayının kuvveti şeklinde yazılabiliyorsa kök dışına çıkarılabilir. Örneğin: √16 = √(4²) = 4

🔗 Üslü ve Köklü Sayılar Arasındaki İlişki

Köklü ifadeler, üslü ifadeler şeklinde de yazılabilir.

• 🔑 Formül: ⁿ√a^m = a^m/n
• 🧮 Örnek: ³√5² = 5^2/3

📝 Önemli Notlar

• ❗ Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitiftir.
• ❗ Negatif sayıların tek kuvvetleri negatiftir.
• ❗ Bir sayının sıfırıncı kuvveti (0 hariç) 1'dir: a⁰ = 1 (a ≠ 0)
• ❗ Bir sayının birinci kuvveti kendisine eşittir: a¹ = a

Umarım bu ders notu, üslü ve köklü sayılar konusunu anlamanıza yardımcı olur. Başarılar dilerim!