Kesirleri genişletme ve sadeleştirme örnekleri

Question

Bu konuyu anlamakta zorlanıyorum çünkü hangi sayıyla genişletip sadeleştireceğimi bazen karıştırıyorum. Özellikle pay ve paydayı aynı sayıya bölerken bütün kesirin değerinin değişmediğini mantığımda tam oturtamadım. Basit ve günlük hayattan örneklerle konuyu pekiştirmek istiyorum.

Answer 1

# 📚 Kesirleri Genişletme ve Sadeleştirme Örnekleri - Ders Notu

🎯 Konuya Giriş: Kesirlerde Eşdeğerlik

Merhaba! Bu ders notumuzda kesirleri genişletme ve sadeleştirme işlemlerini adım adım öğreneceğiz. Bu konu, kesirlerle işlem yapmanın temelini oluşturur ve matematik yolculuğunuzda çok önemli bir yere sahiptir. 🧮

Bir kesri genişletmek, pay ve paydasını aynı sayıyla çarpmak demektir. Sadeleştirmek ise pay ve paydasını aynı sayıya bölmektir. Her iki işlemde de kesrin değeri değişmez, sadece görünümü değişir. Bu nedenle bu işlemlere "eşdeğer kesirler oluşturma" da diyebiliriz.

✨ Kesirleri Genişletme Örnekleri

Genişletme işlemi, özellikle kesirlerde toplama ve çıkarma yaparken (paydaları eşitlemek için) çok kullanılır.

📝 Örnek 1: Temel Genişletme

Kesir: \( \frac{2}{3} \)

İşlem: Pay ve paydayı 2 ile çarpalım.

Çözüm: \( \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6} \)

Sonuç: \( \frac{2}{3} = \frac{4}{6} \)

✅ Gördüğünüz gibi, her iki kesir de aynı değeri temsil ediyor.

📝 Örnek 2: Daha Büyük Bir Sayı ile Genişletme

Kesir: \( \frac{1}{5} \)

İşlem: Pay ve paydayı 7 ile çarpalım.

Çözüm: \( \frac{1 \times 7}{5 \times 7} = \frac{7}{35} \)

Sonuç: \( \frac{1}{5} = \frac{7}{35} \)

📝 Örnek 3: Değişken İçeren Kesir

Kesir: \( \frac{x}{4} \)

İşlem: Pay ve paydayı 3 ile çarpalım.

Çözüm: \( \frac{x \times 3}{4 \times 3} = \frac{3x}{12} \)

Sonuç: \( \frac{x}{4} = \frac{3x}{12} \)

🔍 Kesirleri Sadeleştirme Örnekleri

Sadeleştirme, kesri en sade (basit) haline getirmek için yapılır. Pay ve paydanın ortak bölenlerine bakılır.

📝 Örnek 1: Temel Sadeleştirme

Kesir: \( \frac{8}{12} \)

İşlem: Pay (8) ve payda (12) 2'ye tam bölünür. 2'ye bölelim.

Çözüm Adım 1: \( \frac{8 \div 2}{12 \div 2} = \frac{4}{6} \)

⏭️ Henüz tam sadeleşmedi. 4 ve 6'nın ortak böleni 2'dir. Tekrar 2'ye bölelim.

Çözüm Adım 2: \( \frac{4 \div 2}{6 \div 2} = \frac{2}{3} \)

Sonuç: \( \frac{8}{12} \) kesri \( \frac{2}{3} \) şeklinde sadeleşir.

💡 Kısayol: En büyük ortak böleni (EBOB) bulup tek adımda da sadeleştirebiliriz. 8 ve 12'nin EBOB'u 4'tür: \( \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3} \)

📝 Örnek 2: En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ile Sadeleştirme

Kesir: \( \frac{18}{24} \)

İşlem: 18 ve 24'ün EBOB'u 6'dır. Direkt 6'ya bölelim.

Çözüm: \( \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4} \)

Sonuç: \( \frac{18}{24} = \frac{3}{4} \)

📝 Örnek 3: Değişken İçeren Kesirde Sadeleştirme

Kesir: \( \frac{15x^2}{25x} \)

İşlem: Sayısal katsayıları (15 ve 25) ve değişkenleri ayrı ayrı sadeleştirelim.

• 15 ve 25, 5'e bölünür: \( 15 \div 5 = 3 \), \( 25 \div 5 = 5 \)
• \( x^2 \) ve \( x \) ortak \( x \) parçasını paydada 1 tane, paydada 2 tane olduğu için \( x^{2-1} = x \) payda kalır.

Çözüm: \( \frac{15x^2}{25x} = \frac{3x}{5} \)

🎓 Özet ve Püf Noktalar

• ✅ Genişletme: Pay ve payda aynı sayıyla (0 hariç) çarpılır. Kesrin değeri değişmez.
• ✅ Sadeleştirme: Pay ve payda aynı sayıya bölünür. Kesrin değeri değişmez.
• ⚠️ Sıfır Uyarısı: Kesri asla sıfırla genişletmeyiz veya sıfıra bölmeye çalışmayız!
• 🔢 En Sade Hal: Bir kesri sadeleştirirken, pay ve paydanın 1'den başka ortak böleni kalmayıncaya kadar devam etmeliyiz. Buna kesrin "en sade hali" denir.
• 🧩 Pratik Yapmak: Bu konuyu iyi anlamanın yolu bol bol farklı örnek çözmektir.

✏️ Kendini Test Et - Alıştırma Soruları

1. \( \frac{3}{7} \) kesrini 5 ile genişletin.
2. \( \frac{20}{35} \) kesrini en sade haline getirin.
3. \( \frac{5a}{9} \) kesrini 4 ile genişletin.
4. \( \frac{48}{64} \) kesrini sadeleştirin.
5. \( \frac{12y}{18y^2} \) kesrini sadeleştirin.

Matematik, adım adım ilerleyerek öğrenilen bir dildir. Bu temel işlemleri iyi kavradığınızda, kesirlerle ilgili daha karmaşık konuları çok daha rahat anlayacaksınız. Başarılar! 🌟