köklü sayılar eşlenik soruları özellikleri

Question

Ya ben köklü sayılarda eşlenik almayı falan anladım aslında ama bazı sorularda neye göre eşlenik alacağımı karıştırıyorum. Bir de eşlenik alırken hangi özellikleri kullanacağımı tam kestiremiyorum, sanki her soruda farklı bir şey yapıyormuşum gibi geliyor. Bu konuyu biraz daha netleştirebilir miyiz?

Answer 1

🎨 Köklü Sayılarda Eşlenik Kavramı

Eşlenik, matematiksel işlemlerde köklü ifadeleri rasyonel hale getirmek için kullanılan önemli bir araçtır. Özellikle paydada köklü ifade bulunduran kesirleri sadeleştirmek veya işlemleri kolaylaştırmak için eşleniklerden faydalanırız.

🧠 Eşlenik Nedir?

Bir köklü ifadenin eşleniği, o ifadeyle çarpıldığında köklü kısımdan kurtulmamızı sağlayan ifadedir. Genellikle, iki terimli köklü ifadelerde terimlerin arasındaki işaret değiştirilerek eşlenik bulunur.

• ➕ a + √b ifadesinin eşleniği: a - √b
• ➖ a - √b ifadesinin eşleniği: a + √b
• ➕ √a + √b ifadesinin eşleniği: √a - √b
• ➖ √a - √b ifadesinin eşleniği: √a + √b

📝 Eşlenik ile Çarpma İşlemi

Eşleniklerin temel özelliği, çarpma işlemi yapıldığında köklü ifadelerin ortadan kalkmasıdır. Bu durum, iki kare farkı özdeşliğinden kaynaklanır: (a + b)(a - b) = a² - b²

Örnekler:

• 🍎 (a + √b)(a - √b) = a² - (√b)² = a² - b
• 🍇 (√a + √b)(√a - √b) = (√a)² - (√b)² = a - b

💡 Eşleniklerin Kullanım Alanları

Eşlenikler, matematiksel problemleri çözerken çeşitli alanlarda karşımıza çıkar:

• 📐 Paydayı Rasyonel Yapma: Kesirlerde paydada köklü ifade varsa, paydanın eşleniği ile hem pay hem de payda çarpılarak payda rasyonel hale getirilir.
• ➕ Limit Hesaplamaları: Bazı limit problemlerinde belirsizliği gidermek için eşlenik kullanılır.
• ➗ Trigonometri: Trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesinde ve bazı özdeşliklerin ispatında eşleniklerden yararlanılır.

🧮 Örnek Soru Çözümleri

Soru 1: 3 / (2 + √5) ifadesinin paydasını rasyonel yapınız.

Çözüm: Paydanın eşleniği (2 - √5)'tir. Hem payı hem de paydayı (2 - √5) ile çarpalım:

[3 * (2 - √5)] / [(2 + √5) * (2 - √5)] = (6 - 3√5) / (4 - 5) = (6 - 3√5) / (-1) = -6 + 3√5

Soru 2: (√7 - √3) / (√7 + √3) ifadesini sadeleştiriniz.

Çözüm: Paydanın eşleniği (√7 - √3)'tür. Hem payı hem de paydayı (√7 - √3) ile çarpalım:

[(√7 - √3) * (√7 - √3)] / [(√7 + √3) * (√7 - √3)] = (7 - 2√21 + 3) / (7 - 3) = (10 - 2√21) / 4 = (5 - √21) / 2