Gerçek Sayılarda Tanımlı Fonksiyonların Nitel Özellikleri
Bir fonksiyonun grafiğini çizmeden veya değerlerini hesaplamadan, onun davranışı hakkında bilgi edinmemizi sağlayan özelliklere nitel özellikler denir. Bu özellikler, fonksiyonu daha iyi anlamamıza yardımcı olur.
1. Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyonlar
Bir fonksiyonun belirli bir aralıkta nasıl değiştiğini ifade eder.
- Artan Fonksiyon: Bir \( (a, b) \) aralığında, \( x_1 < x_2 \) iken \( f(x_1) < f(x_2) \) oluyorsa, \( f \) fonksiyonu bu aralıkta artandır. Grafik sağa doğru çıkış yapar.
- Azalan Fonksiyon: Bir \( (a, b) \) aralığında, \( x_1 < x_2 \) iken \( f(x_1) > f(x_2) \) oluyorsa, \( f \) fonksiyonu bu aralıkta azalandır. Grafik sağa doğru iniş yapar.
- Sabit Fonksiyon: Bir \( (a, b) \) aralığında, tüm \( x \) değerleri için \( f(x) = c \) (c sabit bir sayı) oluyorsa, \( f \) fonksiyonu bu aralıkta sabittir. Grafik yatay bir doğrudur.
2. Fonksiyonun Ortalama Değişim Hızı
Fonksiyonun, bir aralıkta ne kadar hızlı değiştiğini ölçer. \( [a, b] \) aralığındaki ortalama değişim hızı:
\( \text{Ortalama Değişim Hızı} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \)
Bu formül, iki noktayı birleştiren doğrunun (kirişin) eğimine eşittir. Ortalama değişim hızı pozitif ise fonksiyon o aralıkta genel olarak artış eğilimindedir, negatif ise azalış eğilimindedir.
3. Maksimum ve Minimum Değerler (Ekstremumlar)
Fonksiyonun alabileceği en büyük ve en küçük değerlerdir.
- Yerel (Lokal) Maksimum: Bir \( x_0 \) noktası, kendisine yakın bir aralıktaki tüm \( x \) değerleri için \( f(x_0) \geq f(x) \) koşulunu sağlıyorsa, \( f(x_0) \) değerine bir yerel maksimum denir. Grafikte bir "tepe noktası" gibi düşünülebilir.
- Yerel (Lokal) Minimum: Bir \( x_0 \) noktası, kendisine yakın bir aralıktaki tüm \( x \) değerleri için \( f(x_0) \leq f(x) \) koşulunu sağlıyorsa, \( f(x_0) \) değerine bir yerel minimum denir. Grafikte bir "çukur noktası" gibi düşünülebilir.
- Mutulak (Global) Maksimum/Minimum: Fonksiyonun tüm tanım aralığındaki en büyük veya en küçük değeridir.
4. Fonksiyonun Pozitif ve Negatif Olduğu Aralıklar
Fonksiyonun grafiğinin x-ekseninin üstünde veya altında kaldığı aralıkları ifade eder.
- Pozitif Olduğu Aralık: \( f(x) > 0 \) eşitsizliğini sağlayan \( x \) değerlerinin kümesidir. Grafik x-ekseninin üstündedir.
- Negatif Olduğu Aralık: \( f(x) < 0 \) eşits
