Örüntü, belirli bir kurala göre düzenli bir şekilde tekrar eden veya devam eden sayı veya şekil dizileridir. Günlük hayatta bile örüntülerle karşılaşırız. Örneğin, kaldırım taşlarının dizilişi veya bir müzikteki ritim birer örüntüdür.
Sayı örüntülerinde, dizideki sayılar arasındaki ilişkiyi (kuralı) bulmamız gerekir. İşte adım adım nasıl yapacağımız:
Sayıların birbirinden ne kadar farklı olduğuna bak. Ardışık terimler arasındaki farkı bul.
Örnek: 2, 5, 8, 11, 14, ... örüntüsünü inceleyelim.
Bu örüntüde her terim bir öncekinden 3 fazladır. Yani kural: "3'er 3'er artar."
Örüntünün genel kuralını bulmak için bir formül yazabiliriz. n. terimi bulmak istiyoruz.
Örnek: Yukarıdaki örüntüyü ele alalım (2, 5, 8, 11, 14, ...).
Gördüğün gibi, her terim 3 x (terim numarası) - 1 şeklinde yazılabilir.
Yani, n. terim için kural: \( a_n = 3n - 1 \)
Bu formülü kullanarak örneğin 10. terimi bulalım: \( a_{10} = 3 \times 10 - 1 = 30 - 1 = 29 \)
Bazı örüntüler sadece toplama ile değil, çarpma veya daha karmaşık işlemlerle de ilerleyebilir.
Örnek: 3, 6, 12, 24, ... örüntüsüne bakalım.
Bu örüntüde her terim bir öncekinin 2 katıdır. Yani kural: "2 ile çarpılır."
n. terim formülü: \( a_n = 3 \times 2^{n-1} \)
Şekil örüntülerinde, adım numarasına göre kaç tane şekil (nokta, kare, vs.) kullanıldığını bulmaya çalışırız. Genellikle önce sayı örüntüsüne çeviririz.
Örnek: Aşağıdaki gibi ilerleyen bir kare örüntüsü düşünelim.
Sayı dizimiz: 1, 4, 7, 10, ...
Yukarıdaki sayıların arası
Soru 1: Bir sayı örüntüsünün ilk birkaç terimi şu şekildedir: 3, 7, 11, 15, 19, ... Bu örüntünün kuralı ve 10. terimi aşağıdakilerden hangisidir?
a) Kural: 4n-1, 10. Terim: 39
b) Kural: 3n+4, 10. Terim: 34
c) Kural: 4n+3, 10. Terim: 43
d) Kural: 4n-1, 10. Terim: 41
Cevap: a) Kural: 4n-1, 10. Terim: 39
Çözüm: Terimler arasındaki fark her zaman 4'tür (7-3=4, 11-7=4). Bu, örüntünün 4n ± bir sayı şeklinde olduğunu gösterir. n=1 için 4*1=4, ancak ilk terim 3 olduğundan 4-1=3'tür. Kural 4n-1'dir. 10. terim: 4*10 - 1 = 40 - 1 = 39.
Soru 2: Aşağıdaki şekil örüntüsünde adımlara göre kullanılan kibrit çöpü sayıları verilmiştir. Buna göre, 6. adımda kaç kibrit çöpü kullanılır?
1. Adım: 4 çöp
2. Adım: 7 çöp
3. Adım: 10 çöp
a) 16
b) 18
c) 19
d) 22
Cevap: c) 19
Çözüm: Kibrit çöpü sayıları bir sayı örüntüsü oluşturur: 4, 7, 10, ... Terimler arası fark 3'tür. Kural 3n+1'dir (n=1 için 3*1+1=4). 6. adım: 3*6 + 1 = 18 + 1 = 19 kibrit çöpü.
Soru 3: Kuralı \( 5n + 2 \) olan bir sayı örüntüsü veriliyor. Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
a) Örüntünün ilk terimi 7'dir.
b) Örüntü artandır.
c) Örüntünün terimleri arasındaki fark 5'tir.
d) 12. terim 58'dir.
Cevap: a) Örüntünün ilk terimi 7'dir.
Çözüm: n=1 için ilk terim: 5*1 + 2 = 7 değil, 5+2=7'dir. Bu ifade doğru görünüyor. Ancak soru yanlış olanı bulmamızı istiyor. n=1 için 7, n=2 için 12, n=3 için 17... Terimler arası fark 5'tir ve örüntü artar. 12. terim: 5*12+2=62'dir. Seçenek d'de 58 denmiş, bu yanlıştır. Fakat soru kökünde "aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır" deniyor. Doğru yanlış ifade d seçeneğidir. Cevap anahtarı a olarak verilmiş, bu bir hata. Düzeltme: Doğru cevap d) 12. terim 58'dir olmalıdır. Çünkü 5*12+2=62 ≠ 58.
Soru 4: Bir şekil örüntüsünün ilk üç adımı aşağıda verilmiştir. Buna göre, 8. adımda oluşan şekil kaç eşkenar üçgenden oluşur?
(1. Adım: 1 üçgen, 2. Adım: 4 üçgen, 3. Adım: 9 üçgen)
a) 36
b) 49
c) 64
d) 81
Cevap: c) 64
Çözüm: Üçgen sayıları: 1, 4, 9, ... Bu
