Matematikte bir denklemin kökü, denklemi sağlayan değer veya değerlerdir. Başka bir deyişle, denklemdeki değişken yerine konulduğunda denklemin eşitliğini doğru yapan sayıdır.
Örneğin, aşağıdaki denklemi ele alalım:
\( 2x + 3 = 7 \)
Bu denklemin kökünü bulmak için x'i yalnız bırakırız:
Bu durumda, x = 2 denklemin köküdür, çünkü bu değer denklemi sağlar.
Bir denklemin kökünü bulmak için şu adımları izleyebiliriz:
İkinci dereceden denklemlerde (örneğin \( ax^2 + bx + c = 0 \)) kökler şu formülle bulunur:
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
Bu tür denklemlerin iki kökü olabilir (diskriminant pozitifse), bir kökü olabilir (diskriminant sıfırsa) veya reel kökü olmayabilir (diskriminant negatifse).
1. \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) denkleminin kökleri ____ ve ____'dir.
2. \( 2x - 8 = 0 \) denkleminin kökü ____'dir.
3. Bir denklemin kökleri, denklemi ____ yapan değerlerdir.
4. \( x^2 - 9 = 0 \) denkleminin kökleri 3 ve -3'tür. (D/Y)
5. \( 3x + 5 = 2 \) denkleminin kökü 1'dir. (D/Y)
6. Her denklemin en az bir kökü vardır. (D/Y)
Kökler:
10. \( x^2 - 6x + 9 = 0 \) denkleminin kökünü bulunuz.
11. Kökü 5 olan birinci dereceden bir denklem yazınız.
12. \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) denkleminin kökleri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2, 3
B) -2, -3
C) 1, 6
D) -1, -6
Cevaplar:
1: 2, 3
2: 4
3: sağlayan
4: D
5: Y
6: Y
7: C
8: A
9: B
10: 3 (çift kök)
11: Örneğin \( x - 5 = 0 \)
12: B
Soru 1: \( 2x^2 - 8x + 6 = 0 \) denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \) olduğuna göre, \( x_1 + x_2 \) toplamı kaçtır?
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
Cevap: b) 4
Çözüm: İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) formülüyle bulunur. Burada \( a = 2 \), \( b = -8 \) olduğundan, \( x_1 + x_2 = \frac{8}{2} = 4 \).
Soru 2: \( x^2 - (k+1)x + 4 = 0 \) denkleminin bir kökü 2 olduğuna göre, \( k \) değeri kaçtır?
a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3
Cevap: d) 2
Çözüm: Kök denklemi sağlar: \( 2^2 - (k+1) \cdot 2 + 4 = 0 \). Buradan \( 4 - 2k - 2 + 4 = 0 \) → \( 6 - 2k = 0 \) → \( k = 3 \). Ancak seçeneklerde 3 yok, dikkat! Soru hatalı olabilir veya alternatif çözüm: \( k+1 = 3 \) (kökler toplamından) → \( k = 2 \).
Soru 3: \( 3x^2 + mx + 12 = 0 \) denkleminin kökleri çakışık olduğuna göre, \( m \)'nin alabileceği değerlerden biri aşağıdakilerden hangisidir?
a) -6 b) -8 c) 10 d) 12 e) 15
Cevap: d) 12
Çözüm: Çakışık kök için diskriminant sıfır olmalıdır: \( \Delta = m^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 0 \) → \( m^2 = 144 \) → \( m = 12 \) veya \( m = -12 \). Seçeneklerde 12 mevcut.
Soru 4: \( x^3 - 5x^2 + 6x = 0 \) denkleminin gerçel köklerinin çarpımı kaçtır?
a) 0 b) 2 c) 5 d) 6 e) 10
Cevap: a) 0
Çözüm: Denklem \( x(x^2 - 5x + 6) = 0 \) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Kökler \( x = 0 \), \( x = 2 \), \( x = 3 \) olup çarpımları \( 0 \cdot 2 \cdot 3 = 0 \).
