9. Sınıf Üçgende Açı ve Kenar İlişkileri Formülleri Nedir?

Question

Üçgende açı ve kenar ilişkilerini anlamakta zorlanıyorum. Hangi formülleri bilmem gerekiyor ve bunları nasıl uygulayacağım? Özellikle büyük açının karşısındaki kenarın uzunluğuyla ilgili kural kafamı karıştırıyor.

Answer 1

Üçgende Açı ve Kenar İlişkileri

Üçgenlerde açılar ve kenarlar arasında belirli matematiksel ilişkiler vardır. Bu ilişkiler, üçgenin temel özelliklerini anlamamızı sağlar. Aşağıda bu konuyla ilgili temel formüller ve kurallar açıklanmıştır.

1. Üçgende Açı Özellikleri

• Üçgenin iç açıları toplamı: Bir üçgenin iç açılarının toplamı \(180^\circ\)'dir. \[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \]
• Dış açı özelliği: Bir üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. \[ \delta = \alpha + \beta \]

2. Üçgende Kenar ve Açı İlişkisi

• Büyük açı karşısında büyük kenar: Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar bulunur.
• Üçgen eşitsizliği: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyüktür. \[ |a - b| < c < a + b \]

3. Pisagor Teoremi (Dik Üçgenlerde)

Bir dik üçgende, dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Burada \(c\) hipotenüs, \(a\) ve \(b\) dik kenarlardır.

4. Özel Üçgenlerde Kenar Bağıntıları

• 30-60-90 Üçgeni: Bu üçgende 30° karşısındaki kenar hipotenüsün yarısı, 60° karşısındaki kenar ise \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) katıdır.
• 45-45-90 Üçgeni (İkizkenar Dik Üçgen): Bu üçgende dik kenarlar eşit olup, hipotenüs \( a\sqrt{2} \) şeklinde hesaplanır.

Answer 2

9. Sınıf Üçgende Açı ve Kenar İlişkileri Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC üçgeninde |AB| = 8 cm, |BC| = 5 cm ve m(∠A) = 40° olduğuna göre, |AC| kenarının alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? (Üçgen eşitsizliği ve açı-kenar ilişkisini kullanınız.)
a) 4   b) 5   c) 6   d) 7   e) 8
Cevap: c) 6
Çözüm: Üçgen eşitsizliğine göre |8-5| < |AC| < 8+5 → 3 < |AC| < 13. Ayrıca m(∠A) < m(∠B) olduğundan |BC| < |AC| → 5 < |AC|. İki eşitsizliği birleştirirsek 5 < |AC| < 13. En küçük tam sayı değeri 6'dır.

Soru 2: Bir üçgenin kenar uzunlukları 2x, 3x+1 ve 4x-5 şeklindedir. Bu üçgenin çevresinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
a) 15   b) 17   c) 19   d) 21   e) 23
Cevap: b) 17
Çözüm: Üçgen eşitsizliğini her kenar için uygulayalım: 2x + (3x+1) > 4x-5 → x > -6 (geçerli), 2x + (4x-5) > 3x+1 → 3x > 6 → x > 2, (3x+1)+(4x-5) > 2x → 5x > 4 → x > 0.8. En kısıtlayıcı koşul x > 2'dir. x = 2.1 için çevre = 9x-4 ≈ 14.9 → En küçük tam sayı değeri x=2.2 için 15.8 → 16 olamaz (x>2 şartıyla çevre 15.9'dan büyük). Ancak x=2.5 için çevre=18.5 → Pratikte en küçük tam sayı 17'dir (x≈2.33).

Soru 3: Bir ABC üçgeninde m(∠A) = 50° ve m(∠B) = 60° olduğuna göre, kenar uzunlukları için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a) |AB| < |AC| < |BC|   b) |AC| < |AB| < |BC|   c) |BC| < |AC| < |AB|   d) |AB| < |BC| < |AC|   e) |AC| < |BC| < |AB|
Cevap: b) |AC| < |AB| < |BC|
Çözüm: m(∠C) = 70° olduğundan açı sıralaması ∠A < ∠B < ∠C. Açı-kenar ilişkisine göre en küçük açının karşısındaki kenar en kısa olmalıdır: |BC| > |AC| > |AB| → Sıralama |AB| < |AC| < |BC| şeklindedir.

Soru 4: Bir ikizkenar üçgende eşit kenarlardan biri 7 cm ve taban açılarından biri 55° ise, bu üçgenin çevresi için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır?
a) 21 cm   b) 19 cm   c) 18 cm   d) 17 cm   e) 15 cm
Cevap: e) 15 cm
Çözüm: İkizkenar üçgende eşit kenarlar 7 cm olduğundan taban uzunluğu (x) için |7-7| < x < 7+7 → 0 < x < 14. Ç