TYT Matematik: İç İçe Kökler Konusunda Sık Yapılan Hatalar ve Çözümleri

Question

İç içe köklerde işlem yaparken kafam çok karışıyor. Hangi kökten başlayacağımı, işaretlere nasıl dikkat edeceğimi tam olarak kestiremiyorum.

Answer 1

🧮 İç İçe Kökler Nedir?

İç içe kökler, bir kök işaretinin içinde başka bir kök işareti bulunması durumudur. İlk bakışta karmaşık gibi görünse de, aslında belirli kurallar çerçevesinde kolayca çözülebilirler. Temel mantık, en içteki kökten başlayarak dışa doğru ilerlemektir.

❌ Sık Yapılan Hatalar ve Çözümleri

➕ Kök İçindeki İşlemleri Yanlış Yapmak

• 🍎 Hata: Kök içindeki toplama veya çıkarma işlemlerini, kök dışına çıkarma işlemiyle karıştırmak. Örneğin, $\sqrt{9+16}$ ifadesini $\sqrt{9} + \sqrt{16}$ şeklinde yazmak.
• ✅ Çözüm: Kök içindeki toplama veya çıkarma işlemleri önceliklidir. Yani, $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ şeklinde olmalıdır. Önce kök içindeki işlem yapılır, sonra kök dışına çıkarma işlemi uygulanır.

✖️ Kök Derecelerini Göz Ardı Etmek

• 🍎 Hata: İç içe köklerde, her kökün derecesini dikkate almamak. Özellikle kök dereceleri farklıysa, işlem hatası yapmak kaçınılmazdır.
• ✅ Çözüm: İç içe kökleri tek bir kök haline getirirken, kök derecelerini çarpmak gerekir. Örneğin, $\sqrt[3]{\sqrt{x}}$ ifadesi $\sqrt[3*2]{x} = \sqrt[6]{x}$ şeklinde yazılabilir.

🔢 Sayıları Kök İçine Alırken Hata Yapmak

• 🍎 Hata: Bir sayıyı kök içine alırken, sayının karesini almayı unutmak veya yanlış kuvvetini almak.
• ✅ Çözüm: Bir sayıyı kök içine alırken, kökün derecesi ne ise o kuvvetini alarak kök içine yazmalıyız. Örneğin, $2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 * 3} = \sqrt{4*3} = \sqrt{12}$ şeklinde olmalıdır.

➖ İşaret Hataları

• 🍎 Hata: Özellikle çift dereceli köklerde, kök dışına çıkarma işlemi yaparken işaretleri karıştırmak.
• ✅ Çözüm: Çift dereceli köklerden dışarıya mutlak değer içinde çıkarılır. Örneğin, $\sqrt{x^2} = |x|$. Eğer $x$ negatif ise, dışarıya $-x$ olarak çıkar.

➗ Payda Eşitlemeyi Unutmak

• 🍎 Hata: Kök içindeki kesirli ifadelerde payda eşitlemeyi unutmak veya yanlış yapmak.
• ✅ Çözüm: Kök içindeki kesirli ifadelerde, öncelikle payda eşitleme işlemi yapılmalıdır. Daha sonra kök dışına çıkarma işlemi uygulanır. Örneğin, $\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{9}}$ ifadesinde önce paydalar eşitlenir: $\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{4}{36}} = \sqrt{\frac{13}{36}} = \frac{\sqrt{13}}{6}$.

📝 Örnek Soru Çözümü

Soru: $\sqrt{5 + \sqrt{11 + \sqrt{25}}}$ işleminin sonucu kaçtır?

1. En içteki kökten başlanır: $\sqrt{25} = 5$
2. Bir sonraki kök içindeki işlem yapılır: $\sqrt{11 + 5} = \sqrt{16} = 4$
3. En dıştaki kök içindeki işlem yapılır: $\sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3$
4. Sonuç: 3