Bir sayıyı kalansız bölebilen asal sayılara, o sayının asal çarpanları denir. Asal sayılar, yalnızca 1'e ve kendisine bölünebilen 1'den büyük sayılardır (Örneğin: 2, 3, 5, 7, 11...).
Çarpan ağacı, bir sayıyı en küçük asal çarpanlarına ayırmak için kullanılan görsel bir yöntemdir. Aşağıdaki adımları takip edebilirsin:
48'i önce 6 ve 8 olarak ayıralım. İkisi de asal olmadığı için onları da ayırmaya devam edeceğiz.
Artık tüm dallar asal sayılarla bitti. 48'in asal çarpanları: 2, 2, 2, 2, 3
Bunu üslü ifade olarak şöyle yazarız: \(48 = 2^4 \times 3\)
Bu yöntemde sayıyı, en küçük asal sayıdan başlayarak sürekli böleriz.
Adımları takip edelim:
Böldüğümüz asal sayılar: 2, 2, 3, 5
Yani \(60 = 2^2 \times 3 \times 5\)
Not: Hangi yöntemi kullanırsan kullan, bir sayının asal çarpanları değişmez. İki yöntem de aynı sonucu verir. Hangisini daha rahat buluyorsan onu kullanabilirsin!
Soru 1: Bir öğretmen, tahtaya 60 sayısının asal çarpanlarını bulmak için bir çarpan ağacı çiziyor. Aşağıdaki adımlardan hangisi bu ağacın doğru bir adımı olamaz?
a) 60 = 30 x 2
b) 30 = 15 x 2
c) 15 = 5 x 3
d) 5 = 2 x 2,5
Cevap: d) 5 = 2 x 2,5
Çözüm: Bir çarpan ağacında her adımda, sayılar asal sayılar elde edilene kadar daha küçük çarpanlara ayrılır. 5 zaten bir asal sayıdır ve daha fazla ayrılmaz. Seçenekteki 2,5 ise ondalıklı bir sayıdır ve çarpan ağacında kullanılamaz. Doğru yol 5'in olduğu gibi bırakılmasıdır.
Soru 2: 84 sayısının asal çarpanlarının toplamını bulmak için algoritmik olarak ilerleyen Ece, aşağıdaki işlemleri yapıyor:
1. 84'ü en küçük asal çarpanı olan 2'ye böler, sonuç 42.
2. 42'yi tekrar 2'ye böler, sonuç 21.
3. 21'i asal çarpanı olan 3'e böler, sonuç 7.
4. 7 asal olduğu için bölme işlemi durur.
Buna göre, Ece'nin bulduğu asal çarpanların toplamı kaçtır?
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
Cevap: a) 12
Çözüm: Algoritmaya göre 84'ü böldüğümüz asal sayılar: 2, 2, 3 ve 7'dir. Bu asal çarpanların toplamı ise 2 + 2 + 3 + 7 = 14 yapmaz. Dikkat: Aynı asal çarpanı (2) iki kez topladık. Soru asal çarpanların toplamını soruyor, yani her asal çarpanı bir kez saymalıyız: {2, 3, 7}. Toplamları 2 + 3 + 7 = 12'dir.
Soru 3: Aşağıda iki farklı öğrencinin 90 sayısı için çizdiği çarpan ağaçları verilmiştir. Bu ağaçlarla ilgili olarak aşağıdaki yorumlardan hangisi kesinlikle doğrudur?
I. Ağaç: 90 => 9 x 10 => (3x3) x (2x5)
II. Ağaç: 90 => 5 x 18 => 5 x (2x9) => 5 x 2 x (3x3)
a) İlk ağaç yanlış, ikinci ağaç doğrudur.
b) Her iki ağaç da farklı dallara ayrılsa da sonuçtaki asal çarpanlar aynıdır.
c) İkinci ağaçta 5 en başa yazıldığı için algoritma yanlış ilerlemiştir.
d) Bir sayının sadece bir tane doğru çarpan ağacı vardır.
Cevap: b) Her iki ağaç da farklı dallara ayrılsa da sonuçtaki asal çarpanlar aynıdır.
Çözüm: Çarpan ağacı oluştururken sayıyı hangi çarpanlara ayırdığımızın bir önemi yoktur. Önemli olan en sonunda ulaşılan asal çarpanlar kümesidir. Her iki ağaçta da sonuç olarak 2, 3, 3, 5 asal çarpanlarına (veya küme olarak {2, 3, 5}) ulaşılır. Bu nedenle her
