9. Sınıf Bir Üçgenden Hareketle Ona Benzer Üçgenler Oluşturma Nedir?

Question

Hocam ben de bu konuyu tam anlayamadım. Mesela elimizde bir üçgen var, bunun benzerini nasıl çiziyoruz? Kenarları büyütüp küçültmek mi yeterli, yoksa açıları da değiştiriyor muyuz? Çok karışık geliyor.

Answer 1

Bir Üçgenden Hareketle Ona Benzer Üçgenler Oluşturma

Benzer üçgenler, karşılıklı açıları eşit ve kenar uzunlukları orantılı olan üçgenlerdir. Bir üçgenden yola çıkarak ona benzer başka üçgenler oluşturmak için çeşitli yöntemler kullanılır.

Benzer Üçgenlerin Temel Özellikleri

• Açıları aynıdır: \(\angle A = \angle A'\), \(\angle B = \angle B'\), \(\angle C = \angle C'\)
• Kenar uzunlukları orantılıdır: \(\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = k\) (k: benzerlik oranı)

Benzer Üçgen Oluşturma Yöntemleri

1. Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerliği:

• Verilen bir üçgenin kenarlarını belirli bir oranda (\(k\)) büyütüp küçülterek benzer üçgen elde edilir.
• Örneğin, bir üçgenin kenarlarını 2 katına çıkarırsak, orijinal üçgene benzer yeni bir üçgen oluşur.

2. Açı-Açı (AA) Benzerliği:

• Bir üçgenin iki açısı, başka bir üçgenin iki açısına eşitse bu üçgenler benzerdir.
• Örneğin, verilen üçgenin \(\angle A\) ve \(\angle B\) açılarını kullanarak yeni bir üçgen çizilir.

3. Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerliği:

• İki üçgende karşılıklı iki kenar orantılı ve bu kenarların arasındaki açılar eşitse üçgenler benzerdir.
• Örneğin, \(\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}\) ve \(\angle A = \angle A'\) ise üçgenler benzerdir.

Örnek Uygulama

Bir \(ABC\) üçgeni verilsin. Bu üçgene benzer bir \(A'B'C'\) üçgeni oluşturmak için:

1. Benzerlik oranı belirlenir (örneğin \(k = 1.5\)).
2. \(A'B' = 1.5 \times AB\), \(B'C' = 1.5 \times BC\), \(A'C' = 1.5 \times AC\) şeklinde kenarlar çizilir.
3. Açılar korunarak (\( \angle A = \angle A' \), vb.) üçgen tamamlanır.

Not: Benzer üçgenlerin alanları, benzerlik oranının karesi (\(k^2\)) ile orantılıdır.

Answer 2

9. Sınıf Bir Üçgenden Hareketle Ona Benzer Üçgenler Oluşturma Çözümlü Test Soruları

Soru 1: ABC üçgeninin kenar uzunlukları |AB| = 6 cm, |BC| = 8 cm ve |AC| = 10 cm'dir. Bu üçgene benzer ve en kısa kenarı 9 cm olan bir DEF üçgeni oluşturulmak isteniyor. DEF üçgeninin diğer kenar uzunlukları aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?
a) 12 cm, 15 cm
b) 10 cm, 14 cm
c) 9 cm, 12 cm
d) 8 cm, 16 cm
e) 12 cm, 18 cm
Cevap: a) 12 cm, 15 cm
Çözüm: Benzer üçgenlerde kenar uzunlukları orantılıdır. ABC üçgeninde en kısa kenar AB = 6 cm'dir. DEF üçgeninde en kısa kenar 9 cm olduğuna göre benzerlik oranı \( \frac{9}{6} = 1,5 \)'tir. Diğer kenarlar: \( 8 \times 1,5 = 12 \) cm ve \( 10 \times 1,5 = 15 \) cm olmalıdır.

Soru 2: Bir ABC üçgeninde [AD] açıortay olup |AB| = 12 cm, |AC| = 16 cm ve |BD| = 6 cm'dir. Bu üçgene benzer bir KLM üçgeni çizilirken [KN] açıortay olarak işaretleniyor ve |KL| = 18 cm, |KM| = 24 cm ölçülüyor. Buna göre |LN| uzunluğu kaç cm olur?
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 12
Cevap: c) 9
Çözüm: ABC üçgeninde açıortay teoremine göre \( \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|} \) ⇒ \( \frac{6}{|DC|} = \frac{12}{16} \) ⇒ |DC| = 8 cm. Benzerlik oranı \( \frac{18}{12} = 1,5 \) olduğundan, KLM üçgeninde |LN| = \( 6 \times 1,5 = 9 \) cm bulunur.